第十九章 扭转的强度与刚度计算

第十九章扭转的强度与刚度计算第一节概述在垂直于杆轴线的平面内有力偶作用时，杆件将产生扭转变形，即杆的各横截面绕杆轴相对转动（图19-1）。由图中可以看出，mx图19-1mxϕ杆的扭转变形具有如下特点：受力：在杆的两端垂直于杆轴线的平面内作用着两个力偶，其力偶矩相等，转向相反。变形：杆上各个横截面均绕杆的轴线发生相对转动。任意两个横截面之间相对转过的角度称为相对扭转角。图19-2（a）（b）PPPPBAABBAmAmAmBmmBmB在工程中经常遇到扭转变形的构件。例如驾驶员的两手在方向盘上的平面内各施加一个大小相等，方向相反，作用线平行的力P[图19-2（a）]，它们形成一个力偶，作用在操纵杆的A端，而在操纵杆的端则受到来自转向器的反力偶的作用，这样操纵杆便受到扭转作用。又如搅拌器主轴[图19-2（b）]、传动轴（图19-3）等构件都伴有扭转问题。以扭转变形为主要变形的受力构件称为轴。工程上轴的横截面多采用圆形截面，即为圆轴。B本章主要研究等直圆轴扭转问题，对于非圆截面杆件的扭转，本章只对矩形截图19-3电动机传动轴ABMeMeBA41面与开口薄壁截面杆的扭转作一简单介绍。第二节扭转时的内力一、外力偶矩的计算前面已经指出，使轴产生扭转变形的是外力偶矩。但是作用于轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，而是给定轴所传递的功率和轴的转速。以图19-3所示的传动轴为例，由电动机的转速和功率可以求出传动轴AB的转速及通过皮带轮输入的功率。功率由皮带轮传到轴AB上，再经右端的齿轮输出。设通过皮带轮给AB轴输入的功率为N（kW），因为1kW=1000N·m/s因此每秒钟输入功应为：)(1000mNNW⋅×=（a）电动机是通过皮带轮以力偶矩作用于MeAB轴上的，若AB轴的转速为每分钟转，则力偶矩在每秒内完成的功应为：nMe)(602mNMenW⋅××=π(b)因为所完成的功也就是皮带轮给MeAB轴输入的功，故（a）、（b）两式应相等，这样得出计算外力偶矩的公式为：MenNMe9550=(N·m)（19-1）在作用于轴上的所有外力偶矩都求出后，即可用截面法研究横截面上的内力。二、扭矩、扭矩图现以图19－4（a）所示的圆轴为例，假想地将圆轴沿m-m截面分成两部分，任取其中一部分，如取Ⅰ部分作为研究对象[图19－4（b）]。由于整个轴是平衡的，所以部分Ⅰ也处于平衡，由平衡条件0=∑xm，则MeMemmⅠⅡMnMemmⅠ(a)(b)(c)图19-4xMnMemmⅡMeMnMeMn==−0Mn称为m-m截面上的扭矩，它是Ⅰ、Ⅱ部分在m-m截面上相互作用的分布内力系的合力偶矩。如果取部分Ⅱ为研究对象[图19－4（c）]，可得到相同结果，只是扭矩的方向相反。Mn扭矩符号规定如下：按右手螺旋法则把表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线的方向一致时，为正；反之，为负。例如图19－4中，Ⅰ部分或Ⅱ部分的m-m截面上的扭矩都为正。MnMnMn42当轴上作用有两个以上的外力偶时，其各段截面上的扭矩是不相等的，这时需分段应用截面法和平衡条件求出扭矩。为了将各段的扭矩清楚地表示出来，也像拉伸（压缩）问题中画轴力图一样，用图线表示扭矩沿轴线变化的情况。用横轴表示横截面的位置，纵轴表示相应截面上的扭矩，这种描绘扭矩沿轴线变化规律的图线称为扭矩图。下面举例说明扭矩的计算和扭矩图的画法。(a)(c)IIIDMAMDMCMBMBMnⅡMCMBMnⅢ468N·m702N·m351N·m(d)(e)图19-5(b)ACBIIIIIIIIIMnIMnIMD例19-1传动轴如图19-5（a）所示。主动轮A输入功率kWNA75.36=，从动轮输出功率分别为DCB、、kWNkWNNDCB7.14,11===，轴的转速为n=300r/min。试画出轴的扭矩图。解（1）计算外力偶矩：由于给出功率以kW为单位，根据（19-1）式：117030075.3695509550=×==nNMAA(N·m)3513001195509550=×===nNMMBCB(N·m)4683007.1495509550=×==nNMDD(N·m)（2）计算扭矩：由图知，外力偶矩的作用位置将轴分为三段：。现分别在各段中任取一横截面，也就是用截面法，根据平衡条件计算其扭矩。ADCABC、、BC段：以表示截面Ⅰ－Ⅰ上的扭矩，并任意地把的方向假设为图19-5（b）所示。根据平衡条件1nM1nM0=∑xm得：01=+BnMM3511−=−=BnMM(N·m)结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。段内各截面上的扭矩不变，均为351N·m。所以这一段内扭矩图为一水平线。同理，在CA段内：BCMnⅡ＋0=+BCMMⅡnM=－BCMM−=－702(N·m)43AD段：0=DnMM－Ⅲ468==DnMMⅢ(N·m)根据所得数据，即可画出扭矩图[图19－5（e）]。由扭矩图可知，最大扭矩发生在段内，且N·mCA702max=nMMBMCMDMA图19-61170N.m702N.m351N.m对同一根轴来说，若轴上各轮所传递的外力偶矩不变，而调换各轮位置时，其扭矩图将发生改变。例如，在本例中若把主动轮A放在轴的右端，其扭矩图将如图19-6所示。这时轴的最大扭矩是：N·m。可见，传动轴上的主动轮和从动轮安置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也就不同。两者比较，图19-5布局比较合理。1170max=nM第三节纯剪切在讨论扭转的应力和变形之前，为了研究剪应力和剪应变的规律及两者间的关系，我们先研究薄壁圆筒的扭转。一、薄壁圆筒扭转时的剪应力nmnm(b)φγn(a)rt图19-7mlnmMeMen(c)mnmMexττ1τγdxxydyzt(d)44图19-7为一等厚度薄壁圆筒（薄壁圆筒是指壁厚远小于其平均半径tr的圆筒）。受扭前在表面上画两条纵向线和距离筒端稍远处的圆周线，构成正方格。然后在两端作用转向相反的扭转力偶矩。使圆筒产生扭转变形，变形后[19-7(b)]，由于截面m－m对截面n－n的相对转动，使方格的左右两对边发生相对错动。但圆周线的形状、大小和它们之间的距离不变，这表示在圆筒横截面上只有剪应力而无正应力，在包含半径的纵向截面上也无正应力。在横截面上，由于筒壁很薄，故可近似地认为沿壁厚剪应力不变；又由于沿圆周方向各点情况相同，故沿圆周各点的应力也是相同的[图19-7(c)]，这样横截面上内力系对x轴的力矩为：τπτπtrrrt222=⋅⋅（a）式中为薄壁圆筒的厚度，tr为平均半径。若外力偶矩为，由m－m截面以左部分圆筒的平衡条件∑eM=0xM得：τπtrme22=故求得：trMe22πτ=(b)二、剪应力互等定理如图19-7（d）所示为从圆筒中取出的微小六面体（微元），其左右一对面对应着圆轴的横截面，上下一对面对应着纵截面（过轴线），它在三个方向的尺寸分别为。根据前面结论可知，左右横截面上只有剪应力而无正应力。其值可由（b）式求得。根据微元的平衡要求，不仅左右一对面上有大小相等，方向相反的剪应力tdydx和、τ，在上下一对面也必须有剪应力τ′，而且由力矩平衡条件0=∑zm有：dytdxdxtdy)()(ττ′=由此得到：ττ′=（19-2）这表明，在相互垂直的两个微面上，剪应力总是成对出现的，它们数值相等，而方向均垂直于两微面的交线，或指向或背离这一交线。这就是剪应力互等定理。三、剪应变、剪切胡克定律微元各对面上只作用有剪应力的情形称为纯剪切。在此情形下，单元体的相对两侧面将发生微小的相对错动[图19-7（d）]，原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量γ，这就是剪应变。由图19-7(b)可知，若ϕ为薄壁圆筒两端的相对转角，l为圆筒的长度，则剪应变为：lrϕγ=（c）45利用上述薄壁圆筒的扭转可以实现纯剪切实验。实验结果表明，对于大多数工程材料，当纯剪状态处于弹性范围内时，剪应力和剪应变存在下列线性关系（图19-8），γτG=（19-3）上述关系称为剪切胡克定律。其中称为材料的剪切弹性模量，单位为或。钢材的。图19-8表明，只有当剪应力G/(GNGPaPa)2mGPaG)8480(−=τ≤pτ时，（19-3）式才能成立。pτ称为剪切比例极限。理论分析和实验结果均表明，材料的三个弹性常数——弹性模量E，剪切弹性模量以及泊松比Gμ中，只有两个是独立的，它们之间满足如下关系：)1(2μ+=EG（19-4）上式只适用于各向同性材料。四、剪切变形能薄壁圆筒的扭转试验表明：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，扭转角ϕ与扭转力偶距成正比。即eMϕ和的关系是一条斜直线（图19-9）。斜直线下面的面积代表在弹性范围内，扭转力偶矩所作的功W。即eMMeϕMeW21=Me所完成的功全部转变为储存于薄壁圆筒内的剪切变形能。故有：UϕMeWU21==薄壁圆筒扭转时，筒壁内各点的剪应力是均匀的。因此每单位体积内储存的能量是相同的。若以圆筒的体积除剪切变形能U，便得到单位体积内的剪切变形能（比能）为：lrtrMertlMeVUuϕππϕ⋅⋅=⋅==2221221利用第三节中的（b）式和（c）式，上式可以写成：τγ21=u再由剪切胡克定律（式19-3）得：Gu2212ττγ==MeφMe图19-9φ图19-8γOτPτ46第四节圆轴扭转时的应力与变形一、横截面上剪应力计算公式圆轴扭转时，在已知横截面上的扭矩后，还应进一步研究横截面上的应力分布规律，以便求出最大应力。要解决这一问题，须应用“三关系法”，即根据变形现象找出变形几何关系；利用物理关系找出应力分布规律；利用静力学关系，导出应力计算公式。下面我们就按上述思路研究圆轴扭转时横截面上的应力。(一)、变形几何关系用容易变形的泡沫塑料作一圆轴模型，在圆轴表面上画出纵向线和圆周线[图19-10（a）]。在圆轴两端施加力偶矩，可以看到表层的变化现象：各圆周线的形状、尺寸和间距保持不变，只是绕轴线相对地旋转了一个微小角度；所有纵向线都倾斜同一角度，小方格变成菱形[图19-10（b）]Me(a)图19-10Me(b)Me根据上述观察到的现象，得出圆轴扭转时的基本假设：圆轴扭转变形后，横截面仍保持平面，且其形状和大小及两相邻横截面间的距离保持不变；半径仍保持为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。这就是圆轴扭转的平面假设。现在在“平面假设”的基础上，利用变形几何关系找出横截面上各点处应变的分布规律。如图19-11，利用相邻的两个横截面m—m和n—n，从轴上取出一个长为的微段[图19-11（b）]。由于扭矩的作用，n—n截面相对于m—m截面转动了一个角度dxϕd，根据平面假设，在n—n截面上，半径和将旋转同样的角度DO2CO2ϕd，转到和的位置且仍保持直线。再用夹角很小的两个径向截面从微段上切下一个楔形体[图19-11（c）]由于扭转变形，使矩形变成平行四边形。引起剪切变形，CD边相对于DO′2CO′2ABCDOO21ABCDDCAB′′AB边错动的距离为：ϕdRDD⋅=′由此求得原直角的角度改变量为：DABdxdRADDDϕγ=='（a）γ为圆截面边缘上点处的剪应变。Dγ发生在垂直于半径的平面（即圆柱表面）内。DO2根据变形后横截面仍为平面，半径仍为直线的假设，用与以上相同的方法，并参考图19-11（c），可求得在距圆心为ρ处的剪应力为：47(a)(b)mnmmnMeMe图19-11AφmnnBDCC΄dxdϕργρ⋅=（b）式中dxdϕ为扭转角ϕ沿轴线的变化率。对同一横截面来说，dxdϕ为一常数，因此由式（b）知，横截面上任一点处的剪应变ργ应与该点所在圆周的半径ρ成正比，而且在同一半径ρ的圆周上，各点处的剪应变ργ相同。扭转角ϕ表示左右两端端截面相对转过的角度（图19-11）。其单位用rad表示。（二）物理关系由上面的分析和推论可知，在圆轴的横截面上只存在与半径垂直的剪应力。根据剪切胡克定律，横截面上距圆心为ρ的任意点处的剪应力ρτ与该点处的剪应变ργ成正比，即ρργτ⋅=GG为材料的剪切弹性模量，单位为。将（b）式代入上式得：GPadxdGϕρτρ⋅=(19-5)上式表明：横截面上任意点处的剪应力ρ