D4 向量代数与空间解析几何 辽宁专升本,高等数学,树人,导航,2018

第四部分向量代数&空间解析几何空间直角坐标系向量的线性运算和坐标数量积向量积平面（方程，位置关系）直线（方程，位置关系）向量直线平面3Ⅶxoy面yoz面zox面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧxyoz空间直角坐标系4)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxA),,0(zyB),,(zoxCxyzo),,(zyxM空间的点有序数组),,(zyx11特殊点的表示:)0,0,0(O坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点,A,B,C一个分量为零:点在坐标面上.两个分量为零:点在坐标轴上.5,),,(1111zyxM设),,(2222zyxM为空间两点,由勾股定理，得两点间的距离公式：22122122121)()()(||zzyyxxMMOxyzz1z2x2x1y1y2M2M1特别，点),,(zyxM与原点)0,0,0(O的距离为222||zyxOM6向量的线性运算和向量的坐标表示一、向量的概念1、向量:既有大小,又有方向的量,称为向量.用一条有方向的线段来表示向量.2、向量的几何表示法以线段的长度表示向量的大小,ABa特别:模为1的向量称为单位向量.模为0的向量称为零向量.记为,它的方向可以看作是任意的.0有向线段的方向表示向量的方向.以A为起点,B为终点的向量,记为或.ABa向量的大小叫做向量的模.记为或.ABAB||a||73、自由向量a自由向量：只有大小、方向,而无特定起点的向量.具有在空间中可以任意平移的性质.ba与若向量大小相等且方向相同,记作相等与称.ba.baaab4、向量相等即通过平移可以使它们重合,85、向量平行(或共线)abab6、向量共面当把若干个向量的起点放在一起时,若它们的终点和公共起点在一个平面上,则称这些向量共面.如果两个向量与的方向相同或相反,称为平行,记为aba‖b9,0a,0bab称为向量a与向量b的夹角,记为特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.)0(AOBAOB则),(ba),(ab或.7、两向量的夹角将它们平移，使得始点重合，a‖b方向相同与ba:0方向相反与ba:平行，，垂直与ba:2.ba101、向量的加法(1)平行四边形法则abbba(2)三角形法则abbab向量的加法二、向量的线性运算11向量加法的运算规律：(1)交换律:abba(2)结合律:)()(cbacbabaababcbcbaabcba12多个向量相加:s1a2a3a4anaaa21从1a的起点开始,首尾相接,指向na的终点.例如,4321aaaas132、向量的减法：abbbcbabac)((2)向量减法.规定:)(baba(1)负向量:与模相同而方向相反的向量,称为的负向量,记作.aaaaa将之一平移,使起点重合,由的终点向的终点作一向量,即为abba,.baabbaba143、向量与数的乘法定义模：||||||aa当0时,;同向与aa当0时,当=0时,.,0它的方向可以是任意的a设为实数.规定:向量与数的为一个向量.a乘积aaa0;反向与aaa0方向：15向量与数的乘积的运算规律:(1)结合律:aaa)()()((2)分配律:aaa)(baba)(定理设0a,则ab//存在唯一实数k,使akb.向量的单位化：，设0a则表示与a方向相同的单位向量.aa||116三、向量的坐标表示1.起点在原点的向量(向径)OM设点M(x,y,z)zijkMoxyCABzyxN以分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量,称为基本单位向量.kji,,OM=OA+AN+NMr=OA+OB+OC,kzjyix称OA、OB、OC分别是OM在x轴,y轴,z轴上的分向量,而x,y,z,分别是OM在三坐标轴上的投影,称为OM的坐标.简记为,此称为向量的坐标表示式.OMr},,{zyxr17xyzo1MPNQR2M以kji,,分别表示沿zyx,,轴正向的单位向量.ijkkajaiaPMQMPMazyx111向量在轴上的投影x向量在轴上的投影y向量在轴上的投影z12xxax12yyay12zzazkzzjyyixxMM)()()(121212212.起点不在原点O的任一向量21MMa设点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)18kzzjyyixxMM)()()(12121221按基本单位向量的坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量：,,,kajaiazyx向量的坐标：,,,zyxaaa向量的坐标表达式：},,{zyxaaaa},,{12121221zzyyxxMM特殊地：},,{zyxOM19},,,{zyxaaaa},,,{zyxbbbb},,{zzyyxxbabababa},,{zzyyxxbabababa},,{zyxaaaakbajbaibazzyyxx)()()(kbajbaibazzyyxx)()()(.)()()(kajaiazyx利用坐标作向量的线性运算20两向量平行的充要条件：即ax=bx，ay=by，az=bz，于是.//zzyyxxbabababa即对应的坐标成比例.注:在上式中规定,若某个分母为零,则相应的分子也为零.已知baba//设,},,{zyxaaaa,},,{zyxbbbb且为常数,21设向量},,{zyxr，向量的模的坐标表示作kzjyixrOM，xyzo)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxN),,(zyxM由勾股定理知，,||||222zyxOMr此即向量模的坐标表示.22方向角与方向余弦（必考）非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.，,},,{zyxOMr设xyzoM,0,0.023非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.，,},,{zyxOMr设xyzoM由图分析可知cos||rxcos||rycos||rz向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.方向角与方向余弦（必考）24非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.，,},,{zyxOMr设xyzoM222||zyxr,cos222zyxx向量方向余弦的坐标表示式时，当0||222zyxr,cos222zyxy.cos222zyxz方向角与方向余弦（必考）1coscoscos22225已知两点M1(2,2,)和M2(1,3,0).计算向量M1M2的模,方向余弦.2例解M1M2={1,1,}221MM;22cos,21cos,21cos;2)2(1)1(222模:方向余弦：26sF解:由物理知,与位移平行的分力作功,与位移垂直的分力不作功.于是向量的数量积与向量积（必考）一、向量的数量积||cos||SFW例如:设力F作用于某物体上,物体有一段位移S,求功的表示式..cos||||SF27ab数量积也称为“点积”、“内积”.结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.定义,Prjcos||bba,Prjcos||aababbabPrj||.Prj||baacos||||baba向量a与b的数量积为ba，(其中为a与b的夹角)投影28数量积符合下列运算规律：（1）交换律：;abba（2）分配律：;)(cbcacba（3）若为数：.)()()(bababa关于数量积的说明：.||aaa即0)2(ba.ba，2||)1(aaa数量积的坐标表达式（必考）,kajaiaazyxkbjbibbzyx设zzyyxxbabababa0zzyyxxbabababa30定义向量a与b的向量积bac规定为sin||||||)1bacc的模大小：(其中为a与b的夹角)2)方向：c的方向同时垂直于a和b，即垂直于a,b所决定的平面,a,b和ba成右手系.向量积也称为“叉积”、“外积”.bacab二、两向量的向量积31注:（1）向量积的模的几何意义.||ba是以ba,为邻边的平行四边形的面积；（2）0ba当且仅当ba//.（3）0aasin||||||bababacab32向量积符合下列运算规律：（1）反交换律：.abba（2）分配律：.)(cbcacba（3）若为数：).()()(bababa向量积的坐标表达式kbabajbabaibababaxyyxzxxzyzzy)()()(zyxzyxxyyxzxxzyzzybbbaaakjibababababababajibkjia,2baba,求10*)1(1*2)1(*1ba)3,1,1(011121kjibababababababaxyyxzxxzyzzy必考例题kjibkjia2,23babababababa2,32,,,求3)1(*)2(2*)1(1*3ba715121213kjibababababababaxyyxzxxzyzzy例题)0,2,1(),3,1,1(),1,3,2(cbacbacbbabcacba))(3();())(2(;)())(1(求2)3()1,1,0()2(248)24,8,0()1(kjkj作业答案36小结理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法；会求单位向量，方向余弦，向量在坐标轴上的投影；掌握向量的线性运算（加法，数乘）;熟练掌握向量的数量积与向量积的计算方法；掌握两向量平行，垂直的条件。37xyzo如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量．法向量的特征：垂直于平面内的任一向量．已知平面的法线向量为},,,{CBAn设平面上的任一点为，),,(zyxM平面方程和空间直线方程n一、平面及其方程),,,(0000zyxM且过点求平面方程.0MM1、平面的点法式方程(重点)法向量38},,{0000zzyyxxMM0)()()(000zzCyyBxxA—平面的点法式方程（必考）},,,{CBAn),,,(00