D5-1-1 多元函数微分学基础 辽宁专升本,高等数学,树人,导航,2018

推广第五部分：多元函数微积分一元函数微分学多元函数微分学NOTE:善于类比,区别异同5-1多元函数微分学第一节一、区域(省略)二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性机动目录上页下页返回结束多元函数的基本概念二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强hr定义1.设非空点集点集D称为函数的定义域;数集DP,Pfuu)(称为函数的值域.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数,记作xzy例如,二元函数221yxz定义域为1),(22yxyx圆域说明:二元函数z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.,)sin(,yxz又如的图形一般为空间曲面.12R),(yx三元函数)arcsin(222zyxu定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球xyzo三、多元函数的极限定义2.设n元函数,R),(nDPPf点,,)δ,(0PUDP则称A为函数(也称为n重极限)当n=2时,记20200)()(yyxxPP二元函数的极限可写作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0是D的聚若存在常数A,对一记作Ayxfyyxx),(lim00都有对任意正数,总存在正数,切例.求解:因,)(2224122yxyx而620)cos1(4limrrr此函数定义域不包括x,y轴,222yxr令则62)cos1(4rr6402limrrr2~cos142rr故仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限),(lim00yxfyyxx不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限),(limlim00yxfyx,0但由例3知它在(0,0)点二重极限不存在.例3目录上页下页返回结束四、多元函数的连续性定义3.设n元函数)(Pf定义在D上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在点如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上,0DP聚点如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称n元函数机动目录上页下页返回结束连续.连续,例如,函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.122yx故(0,0)为其间断点.在圆周机动目录上页下页返回结束结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则机动目录上页下页返回结束)()2(Pf*(4)f(P)必在D上一致连续.在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意，DQ(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)内容小结多元函数概念2元函数),(21xxfy了解多元函数的概念；了解二元函数的几何意义；二元函数的极限与连续概念（不计算）；会求二元函数的定义域；