D5-1-5 多元函数极值 辽宁专升本,高等数学,树人,导航,2018

D5-1-5多元函数的极值及其求法算导数求零点分区间看正负还记得一元函数极值怎么求么？ABC一、多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数zf(xy)在点(x0y0)的某个邻域内有定义如果对于该邻域内任何点(xy)都有在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值、极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.注1.使偏导数都为0的点称为驻点.但驻点不一定是极值点.定理1(必要条件)函数存在偏导数,0),(,0),(0000yxfyxfyx有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有2.从几何上看这时如果曲面zf(xy)在极值点(x0y0z0)处有切平面则切平面zz0fx(x0y0)(xx0)fy(x0y0)(yy0)成为平行于xOy坐标面的平面zz0时,具有极值定理2(充分条件)的某邻域内具有连续的二阶偏导数,且令则:1)当A0时取极大值;A0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz0),(,0),(0000yxfyxfyx),(,),(,),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02BAC02BAC,0),(yxfx0),(yxfy求函数极值的一般步骤：第一步解方程组求出实数解，得所有驻点.第二步对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步定出ACB2的符号，再判定是否是极值.),(yxfz第四步对偏导数不存在的点(包括边界点)，再判定是否是极值点.算导数求零点ABC看正负补充例1.求函数解:求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组ABC的极值.求二阶偏导数,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,06122BAC,0A在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,06122BAC,0)6(122BAC,0A在点(1,2)处不是极值;,0)6(122BACABC例2.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此,022时当yx222)(yxz0)0,0(z为极小值.正负0在点(0,0)xyzo并且在(0,0)都有可能为注不是驻点也可能是极值点.因此,在考虑函数的极值问题时,除了考虑函数的驻点外,如果有偏导数不存在的点,那么对这些点也应当考虑.但(00)不是函数的驻点例如函数22yxz在点(00)处有极大值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.多元函数的最值最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,)(Pf为极小值)(Pf为最小值(大)(大)依据例3欲将长度为a的细杆分为三段,试问如何分才能使三段长度乘积为最大?解设第一段和第二段的长分别为xy则三段长度乘积为).,0()(),(ayxyxaxyyxfz02),(02),(22xxyaxyxfyxyayyxfyx解方程组).3,3(aa得驻点).3,3(aa得驻点,2),(,22),(,2),(xyxfyxayxfByyxfAyyxyxx处，在点)3,3(aa，03)3()32)(32(222aaaaBAC.27)3,3()3,3(3aaafaa处，函数取得最大值故在点