中考数学复习一元二次方程及其应用

课题8一元二次方程及其应用基础知识梳理考点一一元二次方程的相关概念及解法考点二一元二次方程的解法考点三一元二次方程中根与系数的关系考点四一元二次方程的应用中考题型突破题型一考查一元二次方程的相关概念及解法题型二考查一元二次方程的根与系数的关系题型三考查一元二次方程的应用易错一识别一元二次方程时忽略了二次项系数不能为0的条件易错二在利用根与系数的关系时忽略了一元二次方程有实数根的条件易错三在利用根的判别式求范围时忽略一元二次方程中二次项系数不为0的条件易混易错突破易错四忽略实际问题中检验所得解的合理性考点年份题号分值考查方式1.一元二次方程的解法20182611以解答题的形式,以二次函数的知识为载体,考查一元二次方程的解法2017194以填空题的形式,以新定义的实数运算为问题情境,考查一元二次方程的解法20162612以解答题的形式,以二次函数的知识为载体,考查一元二次方程的解法2.一元二次方程的应用近三年未直接考查3.一元二次方程的根与系数的关系2016142以选择题的形式,考查一元二次方程的根与系数的关系备考策略:纵观我省近几年的中考,一元二次方程的知识是必考内容,但单独考查的题目较少,常以二次函数等知识为载体进行考查.一元二次方程的根与系数的关系是新课标实施后的新增内容,预计今后的中考中,对本知识点的考查将会逐渐加强.河北考情探究考点一一元二次方程的相关概念及解法形如①ax2+bx+c=0(其中a、b、c为常数,a≠0)的方程为一元二次方程,满足三个条件:(1)等号两边都是②整式;(2)只含有③一个未知数;(3)未知数的最高次数是④2.基础知识梳理1.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为b2-4ac,通常把它记作Δ,即Δ=b2-4ac.(1)b2-4ac0⇔方程有⑤两个不相等的实数根.(2)b2-4ac=0⇔方程有⑥两个相等的实数根.(3)b2-4ac0⇔方程⑦没有实数根.考点二一元二次方程的解法2.一元二次方程的解法(1)直接开平方法:利用平方根的意义解一元二次方程的方法,叫做直接开平方法.这种方法适用于左边是一个完全平方式,而右边是一个非负数的一元二次方程,即形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.(2)配方法:把一元二次方程转化成(x+a)2=b(b≥0)的形式,然后运用开平方法求解.配方法适用于任意一个一元二次方程,但由于配方法比较麻烦,除题目特别要求外,一般不利用配方法解一元二次方程.(3)公式法:利用一元二次方程的求根公式⑧x= (b2-4ac≥0)解一元二次方程的方法,叫做公式法,公式法适用于所有的一元二次方程.(4)因式分解法:因式分解法的步骤:将方程右边化为0;将方程左边分解为两个⑨一次因式的乘积;令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解.242bbaca考点三一元二次方程中根与系数的关系在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,设方程的两个根分别为x1,x2,则根与系数的关系为x1+x2=- ,x1·x2= .▶温馨提示利用一元二次方程的根与系数的关系解题时,一定要注意与根的判别式相结合.baca考点四一元二次方程的应用有关一元二次方程的应用中常见的等量关系(1)增长率问题中的等量关系增长率=增量÷基础量.设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b,当m为平均下降率,n为下降次数,b为下降后的量时,有a(1-m)n=b.(2)利率问题中的等量关系本息和=本金+利息;利息=本金×利率×期数.(3)利润问题中的等量关系毛利润=售出价-进货价;纯利润=售出价-进货价-其他费用;利润率=利润÷进货价.题型一考查一元二次方程的相关概念及解法该题型主要考查一元二次方程的解的概念,判断一元二次方程有无实数根,根据一元二次方程的解求方程中的字母参数,选用适当的方法解一元二次方程,按照指定的方法解一元二次方程等.中考题型突破典例1(2017唐山模拟)解方程:4x2-8x+1=0.答案解法一(配方法):移项,并将二次项系数化为1,得x2-2x=- .配方,得x2-2x+12=- +12,即(x-1)2= .两边开方,得x-1=± ,∴x1= ,x2= .解法二(公式法):a=4,b=-8,c=1,∴b2-4ac=(-8)2-4×4×1=480,∴x= = ,14143432232232(8)4824232∴x1= ,x2= .232232名师点拨配方法虽然在解题中应用较少,但它是公式法的基础,且配方法适用于任意一个一元二次方程,因此必须掌握用配方法解一元二次方程.变式训练1(2017邢台模拟)用适当的方法解下列方程:(1)x2-3x=18;(2)3y(y-1)=2-2y.答案(1)解法一(配方法):配方,得x2-3x+ =18+ ,即 = ,两边开平方,得x- =± ,∴x1=6,x2=-3.解法二(公式法):将方程化为x2-3x-18=0.这里a=1,b=-3,c=-18,∴b2-4ac=(-3)2-4×1×(-18)=810,∴x= ,∴x1=6,x2=-3.232232232x8143292(3)812(2)解法一(因式分解法):原方程可化为3y(y-1)=-2(y-1).分解因式,得(y-1)(3y+2)=0.令y-1=0,得y=1;令3y+2=0,得y=- .∴y1=1,y2=- .2323解法二(公式法):原方程可化为3y2-y-2=0.这里a=3,b=-1,c=-2,∴b2-4ac=(-1)2-4×3×(-2)=250,∴y= ,∴y1=1,y2=- .(1)252323题型二考查一元二次方程的根与系数的关系该题型主要考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系,包括根据方程的根求方程中某个字母参数的值,根据方程的根求与一元二次方程有关的代数式的值,已知方程的一个根求方程的另一个根等.典例2(2018孝感中考)已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=p(p+1).(1)试证明:无论p取何值,此方程总有两个实数根;(2)若原方程的两根x1,x2满足 + -x1x2=3p2+1,求p的值.21x22x答案(1)证明:原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0.则Δ=(-5)2-4(6-p2-p)=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=(2p+1)2.∵p为实数,∴(2p+1)2≥0,∴无论p取何值,此方程总有两个实数根.(2)∵原方程的两根为x1,x2,∴x1+x2=5,x1x2=6-p2-p.又∵ + -x1x2=3p2+1,∴(x1+x2)2-3x1x2=3p2+1,∴52-3(6-p2-p)=3p2+1,21x22x解得p=-2.名师点拨在利用一元二次方程的根与系数的关系求某个字母参数的值或取值范围时,需注意两点:①因为一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是该方程有两个实数根,所以在利用根与系数的关系时,一定要考虑到根的判别式为非负数;②当有关两根的已知条件不能直接利用时,要先对其进行变形,使其转化为两根之和或两根之积的形式,为利用根与系数的关系打好基础.变式训练2已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求k的取值范围;(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.答案(1)根据题意,得 解得k 且k≠0.(2)假设存在符合条件的k值.根据一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=- =0,解得k= .由(1)可知k 且k≠0,∴当k= 时,方程无实数根,222(21)40,0,kkk14221kk121412∴不存在实数k,使方程的两实数根互为相反数.题型三考查一元二次方程的应用该题型主要考查一元二次方程的应用,主要内容包括:利用一元二次方程解决增长率问题、利率问题、图形面积问题、商品销售中的利润问题等.典例3(2017四川眉山中考)某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润10元.调查表明:生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元.(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,则此批次蛋糕属第几档次产品?(2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天的产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1080元,则该烘焙店生产的是第几档次的产品?答案(1)(14-10)÷2+1=3(档次).答:此批次蛋糕属第三档次产品.(2)设烘焙店生产的是第x档次的产品.根据题意,得[2(x-1)+10]×[76-4(x-1)]=1080,整理,得x2-16x+55=0,解这个方程,得x1=5,x2=11(不合题意,舍去).答:该烘焙店生产的是第五档次的产品.名师点拨本题求解的关键是理解题目中的关键性词语“生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元”,由此即可找到生产的所属档次与产品利润之间的关系,进而根据等量关系“每件利润×生产数量=总利润”列出关于x的一元二次方程.变式训练3(2018保定模拟)市中心城区某街道有一块矩形空地进入规划试点.如图,已知该矩形空地长为90m,宽为60m,按照规划将预留总面积为4536m2的四个小矩形区域(阴影部分)种植花草,并在花草周围修建三条横向通道和三条纵向通道,各通道的宽度相等.(1)求各通道的宽度;(2)现有一工程队承接了对这4536m2的区域(阴影部分)进行种植花草的绿化任务,该工程队先按照原计划进行施工,在完成了536m2的绿化任务后,将工作效率提高25%,结果提前2天完成任务,求该工程队原计划每天完成多少平方米的绿化任务. 答案(1)设各通道的宽度均为xm.根据题意,得(90-3x)(60-3x)=4536,解这个方程,得x1=2,x2=48(不合题意,舍去).答:各通道的宽度均为2m.(2)设该工程队原计划每天完成ym2的绿化任务.根据题意,得 - =2,解这个方程,得y=400.经检验,y=400是原方程的解,且符合题意.4536536y4536536(125%)y答:该工程队原计划每天完成400m2的绿化任务.易错一识别一元二次方程时忽略了二次项系数不能为0的条件易混易错突破典例1若方程(a-1)x|a|+1+2x+8=0是关于x的一元二次方程,则a的值为 (A)A.-1B.1C.1或-1D.1或-3易错警示本题的易错之处是只注意到x的最高次数应为2,而忽略了二次项的系数不能等于0,从而导致a的取值范围扩大的错误.解析根据一元二次方程的定义,得 解得a=-1.对照各选项,选A.10,||12,aa答案A典例2用配方法解方程:2x2-7x+3=0.易错警示本题的易错之处是未将二次项系数化为1就对方程进行配方,由此导致解方程的结果出现错误.解析方程两边都除以2,得x2- x+ =0.移项,得x2- x=- .配方,得x2- x+ =- + ,∴ = .解得x1=3,x2= .723272327227432274274x251612典例3(2017山东烟台中考)若x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,且x1+x2=1-x1x2,则m的值为(D)A.-1或2B.1或-2C.-2D.1易错二在利用根与系数的关系时忽略了一元二次方程有实数根的条件易错警示本题的易错之处是只注意到x1+x2=1-x1x2,忽略了原方程有两个实数根的限制条件,也就是说,x1+x2=1-x1x2是在一元二次方程有实数根的前提下才能成立,如果不理解这一点,就会导致m的取值范围扩大,从而出现选B的错误.解析∵x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,∴x1+x2=2m,x1x2=m2-m-1,则2m=1-(m2-m-1),解得m1=-2,m2=1.∵关于x的方程x2-2mx+m