高等代数之二次型习题

二次型习题2.证明：秩等于r的对称矩阵可以表成r个秩等于1的对称矩阵之和.rArAA)(,'均为可逆矩阵，111)'()'(,,'CCCC证:由题设又因为，存在可逆矩阵C使)('为对角阵DDACCr21DDDAC'C所以有0000D,,000D,00Dr2211rddd于是11121111)'()'()'(CDCCDCCDCAr3.设A是一个n级矩阵，证明：1)A是反对称矩阵当且仅当对任一个n维向量X，有X’AX=0；2)如果A是对称矩阵，且对任一个n维向量X有X’AX=0，那么A=0.证:1）必要性0)()(,'''''''AXXAXXXAXAXXAXXAA即则)0,,1,,0(iX充分性0iiiiaA取)(jiXji取0jjjiijiiaaaaAXX).(jiaajiij从而可知A反对称.2）则由1）知从而XAXX,0AAA0AA反对称，4.如果把实n级对称矩阵按合同分类，即两个实n级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类？解:实对称矩阵A与B合同充要条件是存在可逆矩阵T与C使DdddACCBTTr00''21考虑对角矩阵D的相应二次型的合同分类情况，共计r+1个合同类.但秩r又分别取n，n-1，…，2,1,0，个合同类2)2)(1()1(321nnnn.故共有.5.证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是，它的秩等于2且符号差等于0，或者秩等于1.证:必要性设))((),,,(2211221121nnnnnxbxbxbxaxaxaxxxf1)若上式右边的两个一次式系数成比例，即),,2,1(nikabii.),,2(22111nixyxaxaxayiinn二次型化为2121),,,(kyxxxfn),,,(21nxxxf秩为1.2)若上式右边的两个一次式系数不成比例，设2211baba.),,3(2211222111nixyxbxbxbyxaxaxayiinnnn二次型化为2121),,,(yyxxxfn),,3(212211nizyzzyzzyii.二次型化为22212121),,,(zzyyxxxfn),,,(21nxxxf秩为2，且符号差为0.充分性1）),,,(21nxxxf秩为1，则可经线性替换X=CY，二次型化为2121),,,(kyxxxfnnnxaxaxay22111其中.))(()(),,,(221122112221121nnnnnnnxaxaxaxkaxkaxkaxaxaxakxxxf2）),,,(21nxxxf秩为2，且符号差为0，则可经线性替换X=CY，二次型化为))(())((),,,(221122112121222121nnnnnxbxbxbxaxaxayyyyyyxxxf),,,(21nxxxf可表成两个一次齐次式的乘积.总之，.6.设A是实对称矩阵.证明：当实数t充分大之后，tE+A是正定矩阵.证:nnnnnnataaaataaaatAtE112221111211它的k级顺序主子式.kkkkkkkataaaataaaatt212222111211)(当t充分大时，)(tk为严格主对角占优的行列式，且),,,2,1(,niaatijijii.),,,2,1(0)(正定的从而AtEnktk.8.设A为一个n级实对称矩阵，且|A|0,证明：必存在实n维向量.0'0AXXX使证:假设任意实n维向量X，有,0'AXX半正定，则AXXXXfn'1),,(的从而A所有主子式大于或等于0，故|A|≥0这与|A|0矛盾，故假设不成立，原命题成立..2.设实二次型sininiinxaxaxaxxxf12221121)(),,,(证明：),,,(21nxxxf的秩等于矩阵aaaaaaaaasnssnnA212222111211的秩.证:sininiiniinsininixxxaaaaaxxxaxaf12112111211),,(),,()(AXAXxxxaaaaaxxninisiiniin''2111211),,(),,(AAAA''')(可知，f的矩阵为有,').()()('rrBr.3.设A是n级实对称矩阵，证明：存在一正实数c使对任一实n维向量X都有.||''XcXAXX证:|,|max||||||||||,,,'ijjijijiijjijiijaaxxaxxaAXX令jijixxaAXX,'||||||则.可得.2||'2,22'XcXxanxxaAXXiijiji其中c=an.