高考数学复习点拨-数形结合巧解复数模长最值问题

数形结合巧解复数模长最值问题数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，它在中学数学中占有重要的地位，在高考数学试题中是重点考查、运用的数学思想方法之一．数形结合思想方法有助于概念的相互转化，从而利用数形的辨证统一和各自的优势尽快寻觅出解题途径，使初看很难或很繁的数学问题变得容易和简单．数形结合是一种典型的数学信息转换，它具有直观性、灵活性、深刻性和综合性的特点．因此，数形结合是一把“双刃剑”，特别对解选择题或填空题是一条重要的捷径．由于复数的多种表示形式都有确定的几何意义，因此，对于复数问题，如能剖析其中的几何背景，将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，就能借助几何图形，活跃解题思路，使解题过程简单化．例1设复数z满足|z＋i|＋|z－i|=2，求|z＋i＋1|的最小值．解：由题设知，复数z在复平面内对应的点集是线段AB，如图所示，线段AB上B点到C点距离最短．∵|BC|=1，∴|z＋i＋1|的最小值为1．评析：在分析问题和解决问题时，要注意解析语言的意义及运用，要掌握图形语言、符号语言及文字语言的互化，自觉地由“形”到“数”与由“形”变“数”地运用数形结合的思维方法．例2已知复数z=2＋ai(aR)，求|z＋1－i|＋|z－1＋i|的最小值．解：∵|z＋1－i|＋|z－1＋i|=|z－(－1＋i)|＋|z－(1－i)|，设z1=－1＋i，z2=1－i在复平面上对应的点分别为A(－1，1)，B(1，－1)．z=2＋ai在直线l：x=2上，B点关于直线l的对称点为C(3，－1)，连xyO···1－1－1CAB·x···yO211·－1－1C·DBA···lAC，交l于D，则|z＋1－i|＋|z－1＋i|的最小值为：|BD|＋|AD|=|AC|=25．例3已知复数z满足z＋3=r(cos34＋3sin4i)，求|z＋3－3i|＋|z－3i|的最小值．解：∵|z＋3－3i|＋|z－3i|=|z－(－3＋3i)|＋|z－3i|，设z1=－3＋3i，z2=3i在复平面上对应的点分别为A(－3，3)，B(0，3)．z＋3=r(cos34＋3sin4i)表明z的对应点在图中的直线l上，于是问题变成：在直线l上确定一点D，使得|DA|＋|DB|是l上的点，且到点A、B距离之和的最小值，并求出最小值．易求出点A(－3，3)关于直线l的对称点为C(－6，0)，此时|DA|=|DC|．由图，当B、D、C三点共线时，|DA|＋|DB|最小，最小值是|CB|=369=35．∴|z＋3－3i|＋|z－3i|的最小值为35．评析：有些表达式容易化为“形”，比如例2和例3中的欲求的结论，实际上是一动点到两个定点距离和问题．就是说，由于复数的模长都有明显的几何背景，它们等都是很容易转化成“形”的，因此题目中涉及到这些问题时，可以用数形结合法来解决．xOyB···DCAl··1(0，3)(－3，3)(－6，0)－3