第6章抽样与抽样分布

返回第一节数理统计的基本概念第二节抽样分布定理本章要求1.掌握随机样本的概念;2.熟悉一些常用的统计量及其分布;重点抽样分布定理学时数3-4第一节数理统计的基本概念一、总体、个体与样本定义1在统计学中，我们把所要研究的对象的全体称为总体(母体),记为X;组成总体的每个元素称为个体.定义2从总体中抽出的一部分个体叫样本（子样）.样本中所含个体的数目叫做样本容量.样本所取的值叫做样本值.nXXX,,,21由于抽样具有随机性，所以样本是一组随机变量(或随机向量).一个容量为n的样本记为样本值记为），，（nxxx21抽样方法满足的条件:(1)随机性(2)独立性随机样本).简单)为独立同分布样本(X,X,(X则称与总体X分布相同,且每个分量x)相互独立,X,X,设样本(X定义3n21in21二、样本分布函数12***124,,,,,,,ninXXXXXxxx定义设()是来自总体的样本将各的值按从小到大的次序重新排列记为则函数*1**1*0()1nkknxxkFxxxxnxx称为样本分布函数或经验分布函数.证明略）（的分布函数依概率收敛于的样本分布函数总体时当可以证明133)()(,,PxFXxFXnn三、统计量定义5设(X1,X2,…,Xn)为总体X的一个样本,f(X1,X2,…Xn)为样本的连续函数.如果f中不包含任何未知参数,则称f(X1,X2,…Xn)为一个统计量.112111()()nkkiinkkiiniikAXnkBXXnXX样本阶原点矩样本阶中心矩样本离差平方和2211()1niiSXXn样本方差211()1niiSXXn样本标准差11niiXXn样本均值常用统计量第二节抽样分布定理.),(,就称该分布具有可加性我们参数有所不同服从同一种分布也的和服从某种分布，若它们均设相互独立的随机变量性随机变量的分布的可加YXYX)(~),(~),(~,,.4),(~),,(~),,(~,,.3)(~)(~),(~,,.2),(~),,(~),,(~,,.12222221212222112121nmxYXnxYmxXYXNYXNYNXYXPYXPYPXYXpnmBYXpnBYpmBXYX则且独立设则且独立设（前已证明）则，且独立设则且独立设一、几个常用分布1.2分布niinXXXX12222212)(~22n~(0,1)(1,2),,iXNin设且相互独立称2为自由度是n的分布,记为2分布的密度函数为/21/2/2102(/2)()0nxnxexnfx其他2分布的性质222~(),~(),,~()XmYnXYXYmn(1).可加性:若且与独立则222~(),()()2mEnDn2(2).若则有2211~(),(1,2),~()iikkiiiiXnikXn推广:若且相互独立则:证明(2)~(0,1)iXN22()()()1iiiEXDXEX24421()2xiEXxedx22211()()()nniiiiEEXEXn2420122xxedx23220445431().3222xtttedt令2422()()()2iiiDXEXEX22211()()()2nniiiiDDXDXn2()nxyo2()fx查表可得20.05(30)43.7732(((30)43.773)0.05)P表示2分布的分位点:22{()()}Pnn2()().nn2则称为分布的上分位点(01),n对于给定的与若有2.t分布/XTYn2~(0,1),~(),XNYn设且X与Y相互独立,则称,~().ntttn为服从自由度是的分布记为2(1)/2[(1)(/2)ntttRnnn分布的密度函数为(n+1)/2]h(t)=oxy()tfx查表可得()tn0.05(20)t1.7247(((20)1.7247)0.05)Pt表示t分布的分位点：(()())Ptntn()().nn则称t为t分布的上分位点对给定的01,称满足条件121~(10),,,Xtxx例设确定使12(1)()0.95;(2)()0.99PXxPXx:解1(1)()0.05PXx:查表得10.05(10)1.8125xt2(2)()0.01PXx显然查表得:20.005(10)3.1693xt2:()0.005PXx由对称性得t分布的性质(1);(2)n其密度函数f(x)为偶函数当较大时,其分布很接近正态分布.1(3)()()45,()tntnntnu在时3.F分布22112~(),~(),,XnYnXY设且与相互独立则称12//XnFYn1212,,~(,)nnFFFnn为服从第一自由度是第二自由度是的分布记为:F分布的性质2(1)~(),~(1,);tnFn若t则t12211(2)~(,),~(,);XFnnFnnX若则12211(3)01,(,)(,)nnFnn1-对有F12{(,)}PFFnnF分布的分位点:12(,).FnnF则称为分布的上分位点oxy()Ffx12(,)Fnn:查表可得0.1(10,15)F2.06(((10,15)2.06)0.1)PF表示12,,,nn对给定的若(3):证明12211~(,),,~(,)XFnnYYFnnX设令则12((,))PXFnn1211()(,)PXFnn即1211()1(,)PXFnn121()1(,)PYFnn即121121(,)(,)FnnFnn122~(9,10),,,FFxx例已知确定使12(1)()0.01;(2)()0.99PFxPFx:解10.01(1)(9,10)xF4.9420.99(2)(9,10)xF0.011(10,9)F10.19015.2622222(1)~(,)~(0,1)/(2)(1)~(1)XXNUNnnXSnSn，；与相互独立,且:,,),(,,2221有及样本方差则对样本均值简单随机样本中抽取的一个是从正态总体设SXNXXXn定理1二、抽样分布定理证明(1)：222211niinDXnnn2~(,),1,2,,.iXNin由题设，且相互独立11,niiXXn仍服从正态分布且111niiEXnnn2~(,)XNn11()niiEXEXn11()niiEXn11()niiDXDXn211()niiDXn(2):证明,~(0,1),iiXYNi12n令Y则且Y,YY相互独立22221()(1)niiXXnS21()niiXX2111()nniiiiXXn2111()nniiiiYYn21()niiYY221()niiYnY作正交矩阵1111110021211120323232111(1)(1)(1)(1)(1)nnnnAnnnnnnnnn1122,nnYZYZYZYZ记ZAY作正交变换21()()nTTiiZZZAYAY()TTTYAAYYY21niiY1121()0,nEZEYYYn1121()1nDZDYYYn21211()0,2121EZEYY21211()12121DZDYY111niiZYnYn注意到221()ZnY22221(1)()niinSYnY从而222112nniiiiZZZ22(1)~(1)nSn即22(1)(1),nSn说明是个相互独立的标准正态变量的平方和11()/niiXnXnn而11niiXn111niiYZn22122(1)niinSZZ与独立,则与X独立.有本标准差及样则对样本均值本抽取的一个简单随机样中是从正态总体设定理,,),(,,2221SXNXXXn()~(1)XtnSn~(1)XntnS即222221~(,),~(0,1)(1)~(1),XXNNnnnSnXS由定理，则又且与相互独立.t由分布的定义22(1)~(1)(1)XnStnnn证明：12122211221212()()~(2)(1)(1)11()2XYtnnnSnSnnnn12212121222212,(,),,(,),,,.nnXXXNYYYNXYSS定理3设是来自是来自的两个独立样本,分别表示样本均值表示样本方差则统计量122212()()~(0,1)XYNnn标准化以后证明：221212~(,),~(,),XNYNXYnn且与相互独立221212~(,)XYNnn221212122211221222[()()]~(2)(1)(1)()(2)XYnntnnnSnSnn12122211221212()()~(2)(1)(1)11()2XYtnnnSnSnnnn即222211221222(1)(1)~(1),~(1)nSnSnn而22211221222(1)(1)~(2)nSnSnn则t由分布的定义211222~(1,1)SFnnS12212121222212,(,),,(,),,,.nnXXXNYYYNXYSS定理4设是来自是来自的两个独立样本,分别表示样本均值表示样本方差则统计量211121222222(1)(1)~(1,1)(1)(1)nSnFnnnSn证明：222211221222(1)(1)~(1),~(1)nSnSnnF则由分布的定义1212.(20,3)1015,,?NXXXX例3设总体的两个容量分别为和的独立样本的均值为问服从什么分布12~(0,0.5)XXN则:解121233~(20,),~(20,)1015,XNXNXX且与相互独立212101021.~(0,0.3),(,,),(1.44)iiXNXXXXPX例4设总体为取自的一个样本求0.1:解101022221111.44(1.44)()0.30.3iiiiPXPX221.44((10))0.3P2((10)16)P21222121.(,,)~(,),,?(1)()(2)()nniiniiXXXXNXSXXX例5设是取自总体的样本与分别是样本均值与样本方差问以下随机变量各服从什么分布221()~()niiXn则2~(1)n(1):解2~(,)iXN~(0,1)iXN222111(2)()()nniiiiXXXX221(1)nS