2017届河北省邯郸市高三9月联考数学(理)试题

页1第2017届河北省邯郸市高三9月联考数学（理）试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4}A，2{|log(31),}BnnkkA，则AB（）A．{3}B．{1}C．{1,3}D．{1,2,3}2.已知复数32izii，则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.以(,1)a为圆心，且与两条直线240xy与260xy同时相切的圆的标准方程为（）A．22(1)(1)5xyB．22(1)(1)5xyC．22(1)5xyD．22(1)5xy4.已知||10a，5302ab，且15abab，则向量a与b的夹角为．A．23B．34C.56D．35.如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.263B.83C.243D.436.已知函数()43sin()(0)3fxx在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若90ABC，则（）页2第A．4B．8C．6D．127.执行如图所示的程序框图，如果输入的2,1PQ，则输出的M等于（）A.37B.30C.24D.198.已知为锐角，若1sin2cos25，则tan（）A．3B．2C．12D．139.如图，图案共分9个区域，有6中不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有（）A．360种B．720种C．780种D．840种10.已知实数[0,1]m，[0,2]n，则关于x的一元二次方程224420xmxnn有实数根的概率是（）A．14B．4C．32D．1211.如图，1F，2F是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右两个焦点，若直线yx与双曲线C交于P、Q两点，且四边形12PFQF为矩形，则双曲线的离心率为（）页3第A．26B．26C．22D．2212.已知函数42412sin4()22xxxfxx，则122016()()()201720172017fff（）A．2017B．2016C．4034D．4032第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.半径为336的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为_____.14.在ABC中，边AB的垂直平分线交边AC于D，若,8,73CBCBD,则ABC的面积为.15.6月23日15时前后，江苏盐城市阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级.灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队从A，B，C，D四个不同的方向前往灾区.已知下面四种说法都是正确的.⑴甲轻型救援队所在方向不是C方向，也不是D方向；⑵乙轻型救援队所在方向不是A方向，也不是B方向；⑶丙轻型救援队所在方向不是A方向，也不是B方向；⑷丁轻型救援队所在方向不是A方向，也不是D方向；此外还可确定：如果丙所在方向不是D方向，那么甲所在方向就不是A方向，有下列判断：①甲所在方向是B方向；②乙所在方向是D方向；③丙所在方向是D方向；④丁所在方向是C方向.其中判断正确的序号是.16.函数()lnfxx在点00(,())Pxfx处的切线l与函数()xgxe的图象也相切，则满足条件的切点P的个数有_______个.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）页4第17.已知各项都为正数的等比数列{}na满足312a是13a与22a的等差中项，且123aaa.（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设3lognnba，且nS为数列{}nb的前n项和，求数列的12{}nnSS的前n项和nT.18.（本小题满分12分）某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25]，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）写出a的值；（Ⅱ）在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取3人，并用X表示其中男生的人数，求X的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，已知等边ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，M为EF的中点，N为BC边上一点，且14CNBC，将AEF沿EF折到'AEF的位置，使平面'AEF平面EFCB.（Ⅰ）求证：平面'AMN平面'ABF；（Ⅱ）求二面角'EAFB的余弦值.20.已知椭圆2222:1(0)xyEabab的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴页5第长为4.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若A是椭圆E的左顶点，经过左焦点F的直线l与椭圆E交于C，D两点，求OAD与OAC的面积之差的绝对值的最大值.（O为坐标原点）21.（本小题满分12分）设函数22()(2)lnfxxaxxbx，,abR.（Ⅰ）当1a，1b时，设2()(1)lngxxxx，求证：对任意的1x，2()()xgxfxxxee；（Ⅱ）当2b时，若对任意[1,)x，不等式22()3fxxa恒成立.求实数a的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，PQ为O的切线，切点为Q，割线PEF过圆心O，且QMQN.（Ⅰ）求证：PFQNPQNF；（Ⅱ）若3QPQF,求PF的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆C的极坐标方程为4cos2sin，直线l的参数方程为5cossinxtyt（t为参数）．若直线l与圆C相交于不同的两点P，Q．（Ⅰ）写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；（Ⅱ）若弦长4PQ，求直线l的斜率．页6第24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设10fxxx．（Ⅰ）求15fxx≤的解集M；（Ⅱ）当abM，时，求证：525abab≤．数学（理科）·答案A卷一、选择题1.C2.B3.A4.C5.C6.B7.C8.A9.B10.A11.D12.D二、填空题13.8814.203或243（错解漏解均不得分）15.③16.2三、解答题17.【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式、等差中项、数列的前n项和，以及逻辑思维能力，运算求解能力、方程的思想及裂项法的应用.【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由题意知0q，且12332aaa，∴2111211132,.aaqaqaaqaq，解得13aq，故3nna.……………………………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ），得3lognnban，所以(1)2nnnS.………………………………………………（7分）∴1221122()2(1)1nnSSnnnn，……………………………………………………………（8分）故数列12{}nnSS的前n项和为111112[(1)()()]22231nTnnn21242(1)211nnnnn.……………………………………………………………………………（12分）页7第【方法点拨】（1）求关于等比数列的基本运算通常转化为关于首项1a与公比q的方程（组）来求解；（2）裂项法适用于求通项形如11nnaa（{}na为等差数列）的数列的前n项和.18.【命题意图】本题考查频率分布直方图、离散型随机变量的分布列和数学期望.考查学生的识图能力、数据分析能力、运算能力.【解析】（Ⅰ）1(20.020.030.08)50.055a.………………………………………………（3分）所以X的分布列为：…………………………………………………………………………………………………………………（11分）所以3319()123105105EX.……………………………………………………………（12分）【归纳总结】（1）涉及频率分布直方图问题通常要利用其性质：①所有小矩形的面积和为1；②每组频率=对应矩形面积；（2）求离散型随机变量的分布列和数学期望，首先要根据条件确定随机变量X的所有可能取值.并求出相应概率，列出概率分布表，然后利用期望公式计算.19.【命题意图】本题考查空间直线、平面间的垂直与平行关系，二面角，空间向量的应用，并考查空间想象能力、逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力.【解析】（Ⅰ）因为E，F为等边ABC的AB，AC边的中点，所以'AEF是等边三角形，且//EFBC.因为M是EF的中点，所以'AMEF.…………………………………………………………………（1分）又由于平面'AEF平面EFCB，'AM平面'AEF，所以'AM平面EFCB.…………………（2页8第分）又BF平面EFCB，所以'AMBF.…………………………………………………………………（3分）因为14CNBC，所以//MFCN，所以//MNCF.……………………………………^……………（4分）在正ABC中知BFCF，所以BFMN.而'AMMNM，所以BF平面'AMN.……………………………………………………………（5分）又因为BF平面'ABF，所以平面'AMN平面'ABF.……………………………………………（6分）（Ⅱ）设等边ABC的边长为4，取BC中点G，连接MG，由题设知MGEF，由（Ⅰ）知'AM平面EFCB，又MG平面EFCB，所以'AMMG，如图建立空间直角坐标系Mxyz，则(1,0,0)F，'(0,03)A，(2,3,0)B，)(1,0,3)FA，(3,3,0)FB.…………………………………………（8分）设平面'ABF的一个法向量为(,,)nxyz，则由0,0,FAnFBn得30,330,xzxy令1z，则(3,3,1)n.…………………………………………（10分）平面'AEF的一个法向量为(0,1,0)p，所以313cos,13||||pnnppn，显然二面角'EAFB是锐角.所以二面角'EAFB的余弦值为31313.……………………………………………………………（12页9第分）【举一反三】（1）空间垂直的证明通常利用线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化来证明；（2）求二面角为了减少思维难度，常常通过建立空间直角坐标系，求相应两个平面的法向量的夹角来解决.20.【命题意图】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想.【解析】（Ⅰ）由题意得12ca，又24a，则2a，所以1c.又222413bac，故椭圆E的方程为22143xy.……………………………………………（4分）（Ⅱ）解法一：设OAD的面积为1S，OAC的面积为2S.当直线l斜率不存在时，直线方程为1x，此时不妨设3(1,)2D，3(1,)2C，且OAD，OAC面积相等，12||0SS.………………………………………………………………………………………（6分）当直线l斜率存在时，设直线方程为(1)(0)ykxk，设11(