2016概率统计期中考1-4答案版

《_概率论与数理统计》期中考试（一、四）班级_________姓名_______学号____一、选择题（共6题，每题3分，共计18分）1.事件C发生导致事件A发生,则B。A.A是C的子事件B.C是A的子事件C.ACD．()()PCPA2.设事件BA,两个事件，111(),(),()2310PAPBPAB，则()PAB=B。A．1115B．415C．56D．16（逆事件概率，加法公式，()1()1[()()()]PABPABPAPBPAB）3.设X～2(,)N,那么当增大时，{2}PXC。A．增大B．减少C．不变D．增减不定（随机变量的标准正态化，2(2)1)4.已知BA,是两个事件，X,Y是两个随机变量，下列选项正确的是（C）A.如果BA,互不相容，则A与B是对立事件B.如果BA,互不相容，且0,0BPAP，则BA,互相独立C.YX与互相独立，则YX与不相关D.YX与相关，则相关系数15．已知2,1,(,)1,DXDYCovXY则(2)DXY(C)(A)3；(B)11；(C)5；(D)7（考查公式(2)4()()2cov(2,)DXYDXDYXY）6.若X,Y为两个随机变量,则下列等式中成立的是(A)A.EYEXYXE)(B.DYDXYXD)(C.DXYDXDYD.EXYEXEY二、填空题（共6题，每题3分，共计18分）1.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，如果已知A至少出现一次的概率等于2719，则事件A在一次试验中出现的概率为13.(考查贝努里概型)2.设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（单位：分钟）具有概率密度31030.xexpx，；，其他某顾客在窗口等待服务，若超过9分钟，他就离开.（1）该顾客未等到服务而离开窗口的概率P{X9}=3e（2）若该顾客一个月内要去银行5次，以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数，即事件{X9}在5次中发生的次数，P{Y=0}=35(1)e3.设随机变量X～)2,1(2N，（1）{2.2}PX=0.7257（2）{1.65.8}PX=0.895(3）{3.5}PX=0.8822((0.6)0.7257(2.4)0.9918,(1.3)0.9032(1.25)0.8944,(2.25)0.9878)4.,,,XYZW是独立的随机变量，X服从二项分布1(4,)2B，Y为参数为2的指数分布，Z为参数为3的泊松分布，W是服从[2,4]上的均匀分布，()DYZ=13/4，(2)EZW=7，[(1)]EXYXZ=-2。5.二维随机变量(,)XY在[1,3][2,4]服从二维的均匀分布，则{12,35}PXY__1/4______。6.二维随机变量(,)XY服从二维的正态分布(1,2,4,9,0.5)N则Y服从的分布是_N(2,9)_______。三、解答题（64分）1.（10分）(雷达探测器)在钓鱼岛有一台雷达探测设备在工作，若在某区域有一架飞机，雷达以99%的概率探测到并报警。若该领域没有飞机，雷达会以10%的概率虚假报警。现在假定一架飞机以5%的概率出现在该地区。求(1)飞机没有出现在该地区,雷达虚假报警的概率(2)飞机出现在该地区,雷达没有探测到的概率(3)雷达报警的概率(4)雷达报警的情况下，飞机出现的概率解：令事件A{飞机出现}B{雷达报警}，据题意(|)0.99PBA,(|)0.1PBA,()0.05PA(1)()()(|)0.950.100.095PABPAPBA(2)()()(|)0.050.010.0005PABPAPBA(3)()(|)()(|)()0.990.050.10.950.1445PBPBAPAPBAPA(4)()(|)0.050.99(|)0.3426()0.990.050.950.1PAPBAPABPB2.（6分）n只球(1)n号随机地放进n个盒子(1)n号中去，一个盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对。记X为总的配对数，求()EX,()DX.解：引入随机变量1,1,2,,.0iiiXinii若第号球装入第号盒子中，，若第号球未装入第号盒子中，则总的配对数X可表示成：12nXXXX显然，1{1}iPXn，1{0}inPXn，1,2,,in。因此，1{}iEXn，1,2,,in，21()inDXn…………………（4分）于是1212()()()()()1nnEXEXXXEXEXEX1212()()1()()()nnDXDXXXnDXDXDXn…………………（2分）3.(24分)已知二维随机变量（X，Y）的联合分布律为YX012310838303a0081求（1）参数a（2）随机变量,XY的边缘分布律；,XY是否独立（3）{3}PXY,{3,2}PXY;(4)(),(),EXEY(2)EXY(5)(,)CovXY;(6)(2)DXY;(7)相关系数XY(8)求ZXY的分布律解：（1）由规范性，18a（2）X13P6828Y0123P18383818由于{1,0}{1}0}PXYPXPY，所以,XY不独立(3)1{3}{1,2}{3,0}2PXYPXYPXY6{3,2}{1,0}{1,1}{1,2}8PXYPXYPXYPXY(4)623()13882EX,13313()012388882EY333(2)2222EXY(5)3319()1112338884EXY99(,)()()()044CovXYEXYEXEY(6)2222222222226233()()()13()8824133133()()()0123()888824DXEXEXDYEYEY3315(2)4()()4444DXYDXDY(7)0XY（8）ZXYZ=X-Y-2-10123P0384800184.（24分）设二维随机变量(,)XY的联合密度函数为2,0,0(,)0,xykexypxyothers求:(1)常数k的值；(2)分布函数(,)Fxy；(3)边缘密度函数()Xpx及()Ypy,X与Y是否独立;(4)概率{}PYX；(5)概率{1}PXY;(6)若3ZX，求Z的概率密度；(7)(),()EXDY(8)相关系数,XY;解：（1）由规范性，22001,2xyxykkedxdykeedxdy2k（2）(,)(,)yxFxypuvdvdu(i)当0x或0y，(,)0Fxy（ii）当0x，0y；200(,)(,)(1)(1)yxxyFxypuvdvduee2(1)(1),0,0(,)0,xyeexyFxyothers（3）()(,)Xpxpxydy当0,x220()22xyxXpxedye当0,x()0Xpx22,0()00xXexpxx同理，,0()00yYeypyy由于(,)()()XYpxypxpy，因此X与Y相互独立（4）（5）xy0'Gyx:{}{(,)}(,)GyxPYXPXYGpxydxdy122xyGedxdy2021/3xyydyedx{1}(,)GPXYpxydxdy122xyGedxdy1121200212yxydyedxee(6)3ZX2/32,0()300zZezpzz(7)2220001()()2[]2xxxXEXxpxdxxedxxeedx000()()[]1yyyYEYypydyyedyyeedy222220000()()[]2]2yyyyYEYypydyyedyyeedyyedy22()()()211DYEYEY(8)由X与Y相互独立，有,0XY或者cov(,)()XYXYDXDY,其中220000cov(,)()()()1()222xyxyXYEXYEXEYEXYxyedxdyxedxedyxy0111xy