复数的公开课课件

§3.1数系的扩充和复数的概念一、数的发展史被“数”出来的自然数远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，用划痕、石子、结绳记个数，历经漫长的岁月，创造了自然数1、2、3、4、5、…自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地．古代印度人最早使用了“0”.被“分”出来的分数随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示整数是远远不行的.分数的引入,解决了在整数集中不能整除的矛盾.如果分配猎获物时，2个人分1件东西，每个人应该得多少呢？于是分数就产生了.被“欠”出来的负数为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需要，人类引进了负数．负数概念最早产生于我国，东汉初期的“九章算术”中就有负数的说法．公元3世纪，刘徽在注解“九章算术”时，明确定义了正负数：“两算得失相反，要令正负以名之”．不仅如此，刘徽还给出了正负数的加减法运算法则．千年之后，负数概念才经由阿拉伯传人欧洲。负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾.被“推”出来的无理数2500年古希腊的毕达哥拉斯学派认为,世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数，扩大了数域，为数学的发展做出了贡献。由于希伯斯坚持真理，他被扔进大海，为此献出了年轻的生命。无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾.i的引入:对于一元二次方程没有实数根．012x12x12i引入一个新数：i满足虚数单位i引入一个新数，叫做虚数单位，并规定：ii（1）它的平方等于-1，即21.i（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．二、复数形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.其中i是虚数单位.全体复数所成的集合叫做复数集,C表示{|,}CabiabR1、复数的概念NZQRC2、复数的代数形式实部通常用字母z表示，即biaz),(RbRa虚部其中称为虚数单位.i复数bia)(Rba，)0(b实数)0(b虚数)00(0ba，)00(0ba，实数非)00(ba，纯虚数)00(ba，非纯虚数3、复数的分类及其关系4、复数相等如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即如果，那么Rdcba,,,,abicdiacbd复数不一定能比较大小.0abi00,ab5、共轭复数Z=a+bi(a,b∈R)，其共轭复数为：0(,)zabiabR三、例题讲解21(1)32;(2)3;21(3)3;(4)0.2;2(5)21(6);iiiii　　　　　　　　　　　　　　　　　例1.判断下列各数,哪些是实数?哪些是虚数?若是虚数请指出实部与虚部.（2）当，即时，复数z是虚数．01m1m（3）当0101mm即时，复数z是纯虚数．1m解:（1）当，即时，复数z是实数．01m1m例2.实数m取什么值时，复数（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？11()zmmi是练习:当m为何实数时，复数（1）实数;（2）虚数;（3）纯虚数.2221()Zmmmi是11();m21();m32().m例3.设x，y∈R，并且2x–1+xi=y–3i+yi，求x，y.1.虚数单位i的引入；2.复数有关概念：复数的代数形式复数的实部、虚部复数相等虚数、纯虚数3.复数的分类：学习小结在几何上，我们用什么来表示实数?想一想？实数的几何意义类比实数的表示，可以用什么来表示复数？实数可以用数轴上的点来表示.实数数轴上的点(形)(数)一一对应复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴---实轴y轴------虚轴（数）（形）---复数平面(简称复平面)一一对应z=a+bi5、复数的几何意义复数z=a+bi一一对应OZ平面向量xyobaZ(a,b)z=a+bi.OZzabizabi向量的模叫做复数的模，记为或22zabiab(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.例1.辨析：1．下列命题中的假命题是（）D2．“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数”的（）(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充要条件(D)不充分不必要条件3．“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”的（）(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充要条件(D)不充分不必要条件例2.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围.表示复数的点所在象限的问题复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题转化(几何问题)(代数问题)一种重要的数学思想：数形结合思想020622mmmm解：由1223mmm或得)2,1()2,3(m变式一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值.解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0，∴m=1或m=-2.xyobaZ(a,b)z=a+bi复数z=a+bi一一对应OZ平面向量复数z=a+bi直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应3=1.zzz例已知复数满足，求复平面内对应的点的轨迹.(,),zxyixyR分析：设则22=1xy，22=1xy，点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆.2=1()zziz已知复数满足，求复平面内对应的点的轨迹.1.(),,,AOABCOAziBC例4已知在复平面上正方形为原点顶点对应的复数=求对应的复数.3.2.1复数代数形式的四则运算一、温故而知新（4）复数的几何意义（1）复数的概念（2）复数的分类（3）复数相等1、复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两复数，那么它们的和：（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i（1）复数的加法运算法则是一种规定.当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致;（2）两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形.二、探究新知说明:问：复数的加法满足交换律，结合律吗？设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)12+()()zzacbdi=21+()()zzcadbi=1221++zzzz123123()()zzzzzz),(2dcZ),(1baZZyxO设及分别与复数及复数对应，则1OZ2OZabi+cdi+1(,),OZab=2(,),OZcd=∴向量就是与复数OZ()()acbdi+++对应的向量.问：复数加法的几何意义吗？12(,)(,)(,)OZOZOZabcdacbd=+=+=++问：复数是否有减法？如何理解复数的减法？复数的减法规定是加法的逆运算,即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差,记作(a+bi)-(c+di).根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数.()()()()abicdiacbdi+-+=-+-说明:2、复数的减法法则：问：复数减法的几何意义？yxO1Z2Z∴向量就是与复数对应的向量.12ZZidbca)()(设及分别与复数及复数对应，则1OZ2OZabi+cdi+1(,),OZab=2(,),OZcd=2112ZZOZOZ=-(,)acbd=--3、复数的乘法法则：()()abicdi++=2acadibcibdi+++)()acbdbcadi=-++（(1)两个复数的积仍然是一个复数；说明:(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把换成－1，然后实、虚部分别合并.2i易证复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律任何z1,z2,z3∈C,有12211();zzzz1231232()()();zzzzzz12312133()().zzzzzzz例题21156234223231()()()().()()();()().iiiiii例计算：-+---++--+310().zizz例2已知复数满足，求复数+=(,),zxyixyR分析：设则310()()ixyi，++=3310(),xyxyi即-++=3=1030,xyxy，ì-ïï\íï+=ïî=3-1,xy，ìïï\íï=ïî3-.zi*?()ninN探究：,ii=21,i=-3,ii=-41,i=5,ii=61,i=41,nii+=421,ni+=43,nii+=-41,ni=练习：（1）i+i2+i3+……+i2007=_________；（2）i+i3+i5+……+i33=__________.定义:把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商,其中a,b,c,d,x,y都是实数,记为4、复数的除法法则：()().abiabicdicdi或(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)()()(),cdixyicxdydxcyi(),cxdydxcyiabi,,cxdyadxcyb,,cxdyadxcyb2222.acbdxcdbcadycdabicdi()()()()abicdicdicdi22acadibcibdcd2222acbdbcadicdcd(分母实数化)2222acbdbcadicdcdabicdi31234.()().ii例计算：1234ii解：1234=3434()()()()iiii510=25i12=55i练习：20141111232321();()().iiii1.计算：132.()_______.iaRaai若复数是纯虚数，则实数4113();i答案：21().32213+3121().(),,.iizazbziizzabRab例已知复数，且，求实数、1+,zi分析：21zz=11()zz1+1()ii,i2zazb21+1+()()iaib2()abai211()()zzi1()ii1,i121,,aba12ab