方程的根和函数的零点

【问题1】解下列方程有实数根吗？.0163)2(;016)1(2xxx01635xx方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3相应函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543y=x2－2x+1.....yx0－12112y=x2－2x+3问题一:以下一元二次方程的实数根与相应的二次函数的图象有什么关系？函数图象与x轴的交点结论：上述一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标(方程根的个数是相应函数图象与x轴交点的个数）问题一方程的根函数的图象判别式函数的图象与轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2这个结论对一般一元二次方程与相应的二次函数仍然成立吗？)0(2acbxaxy)0(02acbxax02cbxax)0(a)0(acbxaxy2acb42x000结论仍然成立问题二结论：上述一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标。方程0)(xf相应函数)(xfy问题三这个结论还成立吗？函数零点的定义：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.)(xfy0)(xf)(xfyx三个关系方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2－2x+3零点-1和31无零点方法总结：求函数的零点就是求相应的方程的根.观察函数的图象并填空:①在区间(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“＜”或“＞”)．在区间(a,b)上______(有/无)零点；②在区间(b,c)上f(b)·f(c)_____0(“＜”或“＞”)．在区间(b,c)上______(有/无)零点；③在区间(c,d)上f(c)·f(d)_____0(“＜”或”＞”)．在区间(c,d)上______(有/无)零点；有有有xyOabcd由特殊函数到一般函数f(x)在函数零点的左右两侧函数值乘积小于0探究函数零点存在性定理：xyOxyObaabcc如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点．即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点．即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．函数零点存在性定理：xyObacxyOabcxyObacxyOabc例1判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（）（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（）（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]满足f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（）x1234567f(x)239–711–5–12–26那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（）个A.5个B.4个C.3个D.2个2、函数f(x)=–x3–3x+5的零点所在的大致区间为（）A.(–2，0)B.(1，2)C.(0，1)D.(0，0.5)CB1、已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：【练一练】零点存在性定理的应用：零点存在性定理的应用：例：求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数.解:先确定函数的定义域，在定义域内取值计算相应函数值，用零点存在性定理判断有误零点，再利用函数的函数确定零点的个数。x123456789f(x)-4.0-1.31.13.45.67.810.012.114.2由表可知f(2)0，f(3)0，从而f(2)·f(3)0，∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．108642-2-4512346xyOf(x)=lnx+2x－6析：用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表：课堂小结方程的根与函数的零点方程有根吗？我们能求出它的根（或者近似根）吗？062lnxx探究：三个等价关系函数y=f(x)的零点存在性的判定学会数形结合和函数与方程的思想函数y=f(x)的零点的定义