2015年秋湘教版八年级数学上册课件-2.1-三角形

2.1三角形观察观察下图，找一找图中的三角形，并把它们勾画出来.你还能举出一些实例吗？定义：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.三角形可用符号“△”来表示，如图中的三角形可记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.其中，点A，B，C叫作△ABC的顶点；∠A，∠B，∠C叫作△ABC的内角（简称△ABC的角）；线段AB，BC，CA叫作△ABC的边.通常∠A，∠B，∠C的对边BC，AC，AB可分别用a，b，c来表示.ABCabc三角形中，有的三边各不相等，有的两边相等，有的三边都相等.两条边相等的三角形叫作等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.腰腰底边顶角底角底角三边都相等的三角形叫作等边三角形（或正三角形）.等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相等的等腰三角形.如果是任意长度的三根小木棒它们一定能拼成三角形吗？为什么有的拼不成三角形？试量一量它们的长度，你发现了什么？我们知道，“两点之间，线段最短”，因此在图中，有：ACCBAB由此可见，三角形三边之间有如下关系：用三根小木棒看能否拼成一个三角形．BAACBCABBCACABC三角形任意两边之和大于第三边．三角形任意两边之差小于第三边．不一定不一定只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.两短边之和大于长边.两边之差＜第三边＜两边之和（1）5cm，8cm，2cm（2）3㎝,3㎝,4㎝解：（1）因为5+2=78，不满足两边之和大于第三边，所以不能摆成三角形.（2）最长线段为4cm，因为3+3=64，满足两边之和大于第三边，所以能摆成三角形.友情提醒：只需比较两较短线段之和与最长线段的大小（3）因为5+8=13=13，不满足两边之和大于第三边，所以不能摆成三角形.（4）最长线段为7.5cm，因为3.5+4.5=87.5，满足两边之和大于第三边，所以能摆成三角形.（3）5cm，8cm，13cm（4）3.5㎝,7.5㎝,4.5㎝例2下面分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗?判断三条线段能否组成三角形，是否一定要检验三条线段中任何两条的和都大于第三条？根据你刚才解题经验，有没有更简便的判断方法？思考：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.下列长度的各组线段能否组成一个三角形，并说明理由？（1）15cm、10cm、7cm(2)4cm、5cm、10cm(3)3cm、8cm、5cm(4)4cm、5cm、6cm练一练•4.一个等腰三角形的一边长9cm,另一边长4cm,则它的周长是多少?为什么?•提示:既然是等腰三角形,那么另一边的长要么是4,要么是9cm.•如果是4cm,那么4﹢4﹤9cm,这样不满足三角形的三边关系,所以另一边的长只能是9cm,周长就应该是9﹢9﹢4＝22cm.•3.一个三角形的两边长分别是2cm、5cm,则第三边长X的取值范围是多少?分析：X应满足大于5﹣2﹦3cm,小于5﹢2﹦7cm，所以3﹤X﹤7.在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度之间有怎样的大小关系？为什么？动脑筋在△ABC中，BC是连接B，C两点的一条线段，由基本事实“两点之间线段最短”可得AB+ACBC.同理可得AB+BCAC，AC+BCAB.结论三角形的任意两边之和大于第三边.一般地，我们可以得出：两短边之和大于长边.做一做有三根木棒，其长度分别为2cm，3cm，6cm，它们能否首尾相接构成一个三角形？例1如图，D是△ABC的边AC上一点，AD=BD，试判断AC与BC的大小.解在△BDC中，有BD+DCBC（三角形的任意两边之和大于第三边）.又AD=BD，则BD+DC=AD+DC=AC，所以ACBC.练习1.（1）如图，图中有几个三角形？把它们分别表示出来.答：五个三角形.（2）如图，在△DBC中，写出∠D的对边，BD边的对角.答：∠D的对边是BC，BD边的对角是∠BCD.2.三根长分别为2cm，5cm，6cm的小木棒能首尾相接构成一个三角形吗？答：能.从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.如图，AH⊥BC，垂足为点H，则线段AH是△ABC的BC边上的高.如图，试画出图中△ABC的BC边上的高.做一做D在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.如图，∠BAD=∠CAD，则线段AD是△ABC的一条角平分线.在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线.如图，BE=EC，则线段AE是△ABC的BC边上的中线.任意画一个三角形，画出三边上的中线.你发现了什么？做一做EFDEFD事实上，三角形的三条中线相交于一点.我们把这三条中线的交点叫作三角形的重心.如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF相交于点G，则点G为△ABC的重心.G例2如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高.（1）图中共有几个三角形？请分别列举出来.解（1）图中有6个三角形，它们分别是：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC.（2）其中哪些三角形的面积相等？解因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC.因为AE是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的高，所以S△ABD=S△ADC.又1=2ABDSBDAE，Δ1=2ADCSDCAE，Δ练习1.利用三角尺（或直尺）、量角器任意画出一个三角形，并画出其中一条边上的中线、高以及这条边所对的角的平分线.2.如图，AD是△ABC的高，DE是△ADB的中线，BF是△EBD的角平分线，根据已知条件填空：1122132()∠∠；()；()∠∠∠.ADB==BE==DBF==ADC90AEABEBFDBE动脑筋在小学，我们通过对一个三角形进行折叠、剪拼等操作（如图），知道三角形的内角和是180°，你能说出这些方法的原理吗？动脑筋在小学，我们通过对一个三角形进行折叠、剪拼等操作（如图），知道三角形的内角和是180°，你能说出这些方法的原理吗？上述两种操作都是将三角形的三个内角拼到一起构成一个平角.由此受到启发：因为直线在平移下的像是与它平行的直线，如图，将△ABC的边BC所在的直线平移，使其像经过点A，得到直线.BC所以.BCBC∥则，∠∠BAB=B∠∠CAC=C.所以∠B+∠BAC+∠C=180°.又180∠∠∠BAB+BAC+CAC=，BC结论三角形的内角和等于180°.例3在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x+15)°，从而有3x+x+(x+15)=180.解得x=33.所以3x=99，x+15=48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.议一议一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？三角形的内角和等于180°，因此最多有一个直角或一个钝角.三角形中，三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形.锐角三角形直角三角形钝角三角形直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”.在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边.两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.对外角∠ACD来说，∠ACB是与它相邻的内角，∠A，∠B是与它不相邻的内角.D探究在图中，外角∠ACD和与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？我觉得可以利用“三角形的内角和等于180°”的结论.因为∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠ACD-∠A-∠B=0（等量减等量，差相等）于是∠ACD=∠A+∠B.结论三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.练习1.填空：（1）在△ABC中，∠A=60°，∠B=∠C，则∠B=；（2）在△ABC中，∠A-∠B=50°，∠C-∠B=40°，则∠B=.60°30°2.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAC的度数.答：∠DAC的度数是34°3.如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C的度数.答：∠C的度数是70°