4效用最大化

第二部分：消费者理论主要内容效用最大化选择需求消费者剩余效用最大化主要内容：预算集与可行消费束偏好选择规则效用函数偏好的假设效用最大化行为间接效用函数支出最小化需求函数对偶与罗伊恒等式效用的货币度量问题1.预算集BudgetSet预算集：既定收入水平下的可行消费集。收入水平m；N种商品的消费向量和价格向量预算集或者可行消费束),,,(),,,,(n21n21pppPxxxXn1iiimxpmPX),,,(n21xxxX2.偏好（Preference）偏好：消费者选择偏爱的商品组合的倾向性程度。偏好的基本关系弱偏好关系“”：对于任何的x,y∈X，xy意味着“消费束x至少和消费束y一样好”。严格偏好“”：无差异“~”：xyyxyx但不存在,xyyxyx,~且个人偏好的理性：偏好关系必须满足以下三个基本假设完备性：对于所有的x,y∈X，要么xy，要么yx，要么两者同时成立。传递性：对于所有的x,y,z∈X，如果xy，yz，则有xz。自反性：对于所有的x∈X，有xx。个人偏好的理性假设3.效用函数定义：消费者偏好的刻画或描述消费束效用函数为u(x)物品的替代关系：边际替代率替代关系的类型完全替代完全互补厌恶品中性商品饱和偏好),,,(n21xxxX0dxdxjjxuiixujxxuixxuidxjdx/)(/)(满足效用度量的偏好假设（1）连续性x,y∈X，集合{x：xy}和{x：yx}是闭集集合和是开集单调性弱单调性：如果x≥y，则xy强单调性：如果x≥y，且x≠y，则xy性质：如果消费者的偏好是完备性、自返性、传递性、连续性和强单调性，那么就存在一个连续的效用函数来代表该偏好。}{yxx：}{yxx：满足效用度量的偏好假设（2）局部非饱和性给定消费集X中的任意消费束x和任意的ε0,X中总存在y,满足∣x-y∣ε,使得yx性质：如果偏好关系是强单调的，那么它一定是局部非饱和的。满足效用度量的偏好假设（3）凸性给定消费集X中的任意消费束x、y和z，使xz，yz，若对所有的0≤t≤1有tx+(1-t)yz严格凸性给定消费集X中的任意消费束x、y和z，且x≠y，如果xz，yz，则对所有的0≤t≤1有tx+(1-t)yz效用无差异的商品替代凸性保证了边际替代率的递减边际替代率不取决于代表内在偏好的效用函数的形式4.消费者的效用最大化行为理性假设：理性消费者总是从可行消费集中选择使自己效用最大化的消费束效用最大化问题效用最大化的几个基本特性最优解的存在性要求：目标函数连续，有界闭集。最优消费束由偏好关系决定，和效用函数的选择无关。最优消费束的选择集合对价格和收入是“零次齐次的”。XxmpXtsxumax..)(间接效用函数和需求函数间接效用函数定义式需求函数实现最大化效用v(P,m)的需求束，表示为x(P,m)x(P,m)是(P,m)的0次其次函数mPXtsxumaxmPv..)(),(效用最大化的条件构造拉格朗日函数一阶条件：任意两式的比值有边际替代率=经济替代率二阶条件：保证最大值的唯一性)()(mPXXuLn21i0piixXu,,,)(n21ijpipjxuixu,,,//5.间接效用函数的性质性质1：v(P,m)对价格P是非增的。即如果P’≥P，则有v(P’,m)≤v(P,m)类似地，v(P,m)对m是非减的。性质2：v(P,m)对P和m是0次齐次的。性质3：v(P,m)对价格P是拟凸的。即对于所有的k，{p:v(P,m)≤k}是一个凸集性质4：对于所有的P0，m0，v(P,m)是连续的。6.支出最小化问题支出最小化问题（ExpenditureMinimizationProblem，EMP）：实现某一给定效用的最小支出支出函数e(P,u)是间接效用函数的反函数。e(p,u)的性质：关于p是一次齐次的；关于u严格递增，关于任何p非减；关于p是凹的。即关于p，u是连续的。uXutsminPXuPe)(..),(),()1(),(),)1((upetupteupttpe7.需求函数h(p,u)希克斯需求函数（HicksDemandFunction）也称补偿需求函数（CompensationDemandFunction）。是指价格p下实现U的最小成本的商品需求束。令则有体现的是价格变化后，为了保持效用水平不变，需要通过支出（收入水平）的变化来补充。与效用最大化条件下的需求函数x(P,m)相对应，x(P,m)也称为马歇尔需求函数。可观测性的比较PXuPeuP),(),g(0xipuPepgii),(ipuPeiiuPhx),(*),(8.对偶关系的重要恒等式基本对偶关系对偶的四个恒等式mPXtsxumaxmPv..)(),(uXutsminPXuPe)(..),()),(,(),()),(,(),()),(,()),(,(upepxuphmpvphmpxuupepvmmpvpeiiii9.罗伊恒等式罗伊恒等式（Roy’sIdentity）的表达形式证明：mmPvpmPviimPx/),(/),(),(iipuPemmPvpmPvupepvu),(),(),(********0)),(,(mmPvpmPvipuPeiiiiimPxuPhuPhmPx/),(/),(),(******),(),(),(),(**10.货币度量的效用函数货币度量的直接效用函数在给定价格p下，为获得不低于x效用水平的消费束所需要的最小支出。定义式另一种定义方式也称为最低收入函数或者直接补偿函数前提：具有连续、局部非饱和的偏好——保证支出函数对效用的单调性。货币度量的间接效用函数在价格p条件下，需要多少货币才能够获得在价格q和收入m情况下相同的效用水平。定义式)()(..xuzutspzmin))(,(),(xupexpm)),(,(),;(mqvpemqp