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此文档由天勤论坛（）邹老师原创，转载请注明出处！化繁为简学习法之专题：不定积分计算24字口诀求不定积分是《高等数学》的一个重要部分，它的直接考题不多，但是它却是定积分和重积分的基础.它的理论很简易，就是导数的逆运算，但对于初学者会以为要用到许多技巧.我当学生的时候，很喜欢做，至少做了上千题，当时没有想到总结.当老师以后，为了让同学们学得更有效率，我试图去总结的时候，却意外地发现了一些隐藏在深处的规律！用此规律去做题，即使基础一般的同学也能够迅速地找到求法路径！针对考研的同学，我不想再像对待初学者那样做那些常规的总结，因为随便找一本考研书，你都可以得到不错的总结，也不外乎书上所述的：1.基本公式法，2.凑微分法（第一类换元法），3.第二类换元法，4.分部积分法，5，有理函数法.但关键是如何在第一时间迅速作出决断？而不是几种方法逐一尝试，结果耽误时间.我这里有突破常规的“口诀”，既巧妙又简单，保证让你得益匪浅.你只要知道，不定积分无非是导数公式反过来运用，没什么神秘的.从导数公式看下来，有一些不变的法则，我这里总结成24字的口诀，请大家先牢牢背下：甲求导后得乙，无理变成有理，三指凑成一类，幂次化出整倍.解释：我们知道上述书中讲的5种方法，最难办的就是“凑微分法”，此口诀最开始是为凑微分法总结的，没想到发现对于其它4种方法也很适用！第一句：“甲求导后得乙”.它的第一层意思是作为凑微分的总纲，它也是解决凑微分的法宝.凑微分法是从下面的复合函数的求导公式得来：d(f((x))f'((x))'(x)dxϕ=ϕϕ，两边积分变成f'((x))'(x)dxf'((x))d(x)f((x))ϕϕ=ϕϕ=ϕ∫∫+C关键是我们拿到一个函数，有时不知道哪个是(x)ϕ！我们思路可以反过来：我先假设它就是用凑微分（除了一眼就能看出的积分），那么仔细看，被积函数必须是这样：f'((x))'(x)ϕϕ，其中一个部分f'((x))ϕ中的中间变量(x)ϕ（作为甲）的导数就是后面的'(x)ϕ（作为乙）.不知道大家明不明白？这里举一例说明，例如求：1cosxdxxsinx++∫此题很容易走入误区：“分部”？万能公式？……按照“甲求导后得乙”，一看：(xsinx)'1cosx+=+分母（甲方）求导后成了分子（乙方），于是将乙方凑到微分符号里：1cosx1dxd(xsinx)ln|xsinx|Cxsinxxsinx+=+=++++∫∫简单吧？！“甲求导后得乙”还有第二层意思，仔细观察一下所有的基本求导（微分）公式，所有基本函数求导后是没有对数函数和反三角函数的！反过来就是说，若不定积分中含有“ln”、“arc”这样的对数函数或反三角函数，除了凑微分（一小部分），看来只有通过分部积分对此部分求导才能化开，因为对数函数求导后成了有理函数，反三角函数求导后虽然是无理函此文档由天勤论坛（）邹老师原创，转载请注明出处！数，但是总还有办法积出来.可见，甲求导后得乙亦是指将对数函数与反三角函数作为“甲方”先求导试一试，它变成其它函数后就可以确定需要凑微分还是分部.若求导后被积部分含求导后的函数，则是凑微分，若不含，则分部.如2ln(lnx)dx(xlnxxlnx∫∫凑微分）；（分部）第二句：“无理变成有理”.这是一般原则，对第二类换元和纯三角函数非常适合，这部分你们看书体会，对凑微分也是一样！无理函数尽可能往有理函数的方向化.请看：32x1xdx+∫不要一开始就想到第二类换元（xtant=）.没事千万不要轻易用第二类换元，麻烦！抓住主要矛盾：21x+无理式不好办，那么外面还有“尾巴”，先凑微分：32222x1xdx1/2x1xd(x1)+=++∫∫这样根式可以看成幂次！即：2222222223/2221/221/2x1xd(x1)1/2(1x)1xd(x1)1/21xd(x1)1/2(1x)d(x1)1/2(1x)d(x1)++=+++−++=++−++∫∫∫∫∫下面就请同学们自己完成吧！“无理变成有理”还有第二层意思，就是一般中学时候讲“有理化”常常是分母有理化，而不定积分常是分子有理化！这看似无理，实际有理，原因在于分子有理容易凑微分且求导基本函数里面有许多式子根号在分母上的缘故.具体到下面讲述.第三句：“三指凑成一类”.“三指”指的是“三角函数”与“指数函数”.分析求导基本公式发现，三角函数（或指数函数）均有一种“惰性”性质，就是导函数仍然是三角函数（或指数函数），尤其是指数函数，惰性显得更明显.所以，对于三角函数（或指数函数），我们的原则是尽可能通过三角公式（或指数分解），将之化成一类三角公式（包括d后面的积分变量），且凑成一种角度（或指数相同的指数公式）.你们仔细看书中三角函数积分的方法是不是这个原理？比如：41dxsinxcosx∫典型的例子，利用22sinxcosx1+=，要么正弦化余弦，要么余弦化正弦，那么如何选择？有方法！秘诀在于偶数次幂的不管，化奇数次幂，看完下面你就明白4242424111dxdcosxdcosxsinxcosxsinxcosx(1cosx)cosx1dt(tcosx)(1t)t=−=−−=−=−∫∫∫∫下面大家都明白…“三指凑成一类”，还有一层意思，就是因为三角函数与指数函数有惰性性质，所以它们旁边有其它类型函数时，往往都要想办法将它们“除去”，此时常用分部积分法.第四句：“幂次化出整倍”.首先整数幂遇到幂次比较大的时候，凑微分可降幂，秘诀在于将幂次化出整倍，不是整倍的凑微分变成整倍.先看例子更明白：此文档由天勤论坛（）邹老师原创，转载请注明出处！1184xdxx3x2++∫这里幂次是4,8,11，以4为基础，11不是8的倍数，将11分解成8+3，1183xxx=，只要将不能成整倍的3x凑进微分中即可！11842484842xdxxdxtdt1/41/4(tx)x3x2x3x2t3t2===++++++∫∫∫降幂成功！还有，当分数幂（无理）时，用第二类换元法时，用分数的分母中的最小公倍数，这样就可以保证还原后全变成有理形式，如4dxxx+∫，可令4xt=.这也算另类“幂次化出整倍”吧.可不要小看这四句话哦！前面只是针对简单的积分，目的是让大家明白大概.此四句话可比喻为武林高手的“内功秘诀”，要想运用自如，还需要悟性和多练习.下面我们进行：实战操练：我们下面取出一些针对性的题目，运用口诀分析做题.我选的题目尽可能是一般或偏难一点的（太难太易都不具备代表性）.大家慢慢体会.注意：以下将“24口诀”简称为“口诀法”.例1求1dxxlnxlnlnx∫“口诀法”分析：前面讲到，遇到对数函数有两条路：分部、凑微分.无论如何均将甲作为“lnx”求导后成为乙：1/x,在积分函数中有！因此用凑微分.运用口诀“甲求导后得乙”！解：原式=1dlnxlnxlnlnx∫=1dlnlnxlnlnx∫=ln|lnlnx|+C例2x1xdx1x+−∫“口诀法”分析：口诀有言，“无理变成有理”.要将分子（不是分母）有理化.解：原式222xdxxdx1x1x=+−−∫∫22222dx(x1)dxdx1/21x1x1x−=++−−−∫∫∫222d(1x)1/21xdxarcsinxC1x−=−−++−∫∫222d(1x)x1x1/21xarcsinarcsinxC22a1x−=−−−++−∫第二类换元法总结：与第一类换元法不同，其原函数并非复合函数.是因为为了去根号等原因人为地将自变量作为中间变量.这里称“主动换元法”第一类换元可称“被动换元法”.先对凑微分来说，第二类换元法较有规律，一般的原则是：1.22ax−型，令x=asint此文档由天勤论坛（）邹老师原创，转载请注明出处！2.22ax+型令x=atant322xa−型令x=asect4.倒代换(少见)：针对分母幂次较高的情形，可将分母的幂化为分子的幂.5．最小次幂代换：当出现不同次的根号时，直接用凑微分不易求时考虑用它.6．万能公式代换：能将三角被积函数化有理函数.（缺点是较繁琐，最好在其它方法不灵时用）……注意：有的函数含有上面的形式的项，但是并不需要用第二类换元法.如：2xdx1x−∫，2arcsinxdx1x−∫例32xtanxsecxdx∫“口诀法”分析：三角函数与幂函数的结合体，最容易想到的应该是分部积分法，因为我们最需要消去x这个“异类”.运用口诀“三指凑成一类”解：原式=xsecxdsecx∫21/2xd(secx)=∫=21/2xtanx1/2tanxx/2C−++分部积分法总结：通过此题我们引出分部积分法的总结.此方法被积函数往往是有两类函数相乘.其根据是函数乘法的导数公式.此方法归纳起来，总结成一口诀,就是“反对幂指三，前导后积莫乱来！”（前半句话每一个字表示一类初等函数，“反”表示反三角函数，“对”表示对数函数，“幂”表示幂函数，“指”表示指数函数，“三”三角函数.）意思是说，当两类函数在一起时，谁导谁积按照口诀的顺序.分部积分的目的：1）对幂函数降幂最终消去幂函数；2）对反三角函数（对数函数）求导变成其它易积函数；3）循环求积分（往往针对三角函数）；4）降幂求递推式（少用）.例如下面都是可以用分部做的，同学们结合上一段的口诀自己做一下：（1）ln(1x)dxx+∫（“对”与“幂”；答案：2xln(1x)4x4arctanxC+−++）（2）xxln(1e)dxe+∫（“对”与“指”；答案：xxxeln(1e)xln(1e)C−−++−++）（3）22xarctanxdx1x+∫（“幂”与“反”；答案：22xarctanx1/2ln|1x|1/2(arctanx)C−+−+）（4）222xdx(1x)+∫（用分部积分降幂；答案：21xarctanxC22(1x)−++）例410dxx(x1)+∫“口诀法”分析：因为是有理函数，一般可以用书上的拆项，但是如死做的话，一是因此文档由天勤论坛（）邹老师原创，转载请注明出处！式分解不易，即时分解开来了，待定常数也非常多，所以这条路行不通.用口诀：幂次化出整倍.将分母中的x乘以9x，然后分子多出一个9x，凑微分…解:原式=9101010101010101010xdx1dx1111()dxln|x|ln|x1|Cx(x1)10x(x1)10xx110==−=−+++++∫∫∫有理函数的积分总结：有理函数的积分一般方法没有什么技巧.在凑微分不灵和其它典型方法不行时用，具体方法比较死，但是我告诉大家，除不得已之外，有时也可以避免待定系数，可以有灵活的拆解.如：31x(x1)−的正规拆解要待定4个系数，很繁杂，若用线面的方法就简单得多：32323321111111111()()x(x1)(x1)x1x(x1)x(x1)(x1)x1x1x1111(x1)(x1)x1x=−=−=−−−−−−−−−−=−+−−−−还有：222222221111112()1/4()1/4()(x1)(x1)(x1)x1x1(x1)(x1)(x1)(x1)11114(x1)4(x1)x1x1==−=+−−−+−+−+−+=+−+−+−+例521cosxdx1sinx++∫“口诀法”分析：纯三角函数，用“三指凑成一类”.分子中含“1”不便凑微分，那么分开两项来做.解：原式221cosxdxdx2cosx1sinx=+−+∫∫2211dxdsinx2cosx1sinx=+−+∫∫2211dtanxdsinx2secx11sinx=+−+