86全等三角形的讲义整理讲义

聚智堂数学讲义１全等三角形专题一全等三角形的性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。）【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角。【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：(1)AB与是对应边，BC与是对应边，CA与是对应边；(2)∠A与是对应角，∠ABC与是对应角，∠BAC与是对应角【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。(1)有公共边的，公共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。【练习1】如图，图中有两对三角形全等，填空：(1)△BOD≌；(2)△ACD≌.【知识点3】全等三角形的对应边相等，对应角相等。（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相等，对应角的角平分线相等）【例题2】（海南省中考卷第5题）已知图2中的两个三角形全等，则∠度数是（）A.72°B.60°C.58°D.50°【例题3】（清远）如图，若111ABCABC△≌△，且11040AB°，°，则1C=．ABCC1A1B1DABCOEABCD聚智堂数学讲义２【练习2】如图，ACBACB△≌△，BCB=30°，则ACA的度数为（）A20°B．30°C．35°D．40°【练习3】如图，△ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90°到△EBC，且∠ABD=90°。（1）△ABD和△EBC是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角。（2）若AB=3cm,BC=5cm,你能求出DE的长吗？（3）直线AD和直线CE有怎样的位置关系？请说明理由。专题二全等三角形的判定【知识点1】SSS：三边对应相等的两个三角形全等。简写为“边边边”或“SSS.【例题1】如图，AB=AD，BC=CD求证：∠BAC=∠DAC。【练习1】已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF．CABBABCDEFA聚智堂数学讲义３【知识点2】SAS:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS.【例题2】已知：如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．求证：DC∥AB．【练习2】已知：如图，AE∥BF，AB=CD，AE=BF.求证：△AEC≌△BFD【练习3】如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE，求证：AC⊥CE．若将CD沿CB方向平移得到图(2)(3)(4)(5)的情形，其余条件不变，结论AC1⊥C2E还成立吗？请说明理由．【知识点3】ASA：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，（可以简写为“角边角”或“ASA”）聚智堂数学讲义４【例题3】已知：如图，∠AOD=∠BOC，∠A=∠C，O是AC的中点。求证：△AOB≌△COD．【练习4】1、如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:∠5=∠6．2、如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，求证：AB=AD。3、如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向过A的直线作垂线，垂足为E，F。（1）证明：过A的直线与斜边BC不相交时，则有EF=BE+CF，如图1。（2）如图2，过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，你能得到什么结论？请给出证明。654321EDCBA聚智堂数学讲义５【知识点4】AAS:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，(可以简写为“角角边”或“AAS”)这一结论很容易由ASA推得：因为三角形的内角和等于180°，因此有两个角分别对应相等，那么第三个角必对应相等，于是由“角边角”，便可证得这两个三角形全等．所以两个三角形如果具备两个角和一条边对应相等，就可以判断其相等。【例题4】1、下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．①②③2、已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．【练习6】1、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是282cm，AB＝20cm，AC＝8cm，求DE的长．2、△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．【知识点5】HL:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，（可以简写为“斜边，直角边”或“HL”）【例题5】（1）证明两个直角三角形全等的方法有（2）根据下列已知条件，能惟一画出三角形ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，AC＝8；B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30；C.∠A＝60，∠B＝45，AB＝4；D.∠C＝90，AB＝6ACBDEFAEBDCFABCDEF图9聚智堂数学讲义６（3）已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE求证：OB=OC.（4）如图，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB上一点，AE⊥CD于E，BF⊥DC交CD的延长线于F．求证：BF=CE．【练习2】1、对于下列各组条件，不能判定△ABC≌△CBA的一组是（）（A）∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB=A′B′（B）∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′（C）∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′（D）AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′（2）聚智堂数学讲义７专题三角的平分线的性质【知识点1】角的平分线：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线【例题1】1、已知∠BAC，作∠BAC的平分线。（尺规作图）2、直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（）A．45°B．135°C．45°或135°D．都不对【知识点2】角的平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。【例题2】1、△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠A的平分线交BC于点D，若CD＝8cm，则点D到AB的距离为＿＿＿＿cm．2、如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm2、如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF②△BDF≌△CDE③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③3、如图，已知△ABC中，E是AB延长线上的一点，AE=AC，AD平分∠A，BD=BE。求证：∠ABC=2∠C。【知识点3】角平分线的判定方法1：（角平分线的定义）把一个角分成两个相等的角的射线叫做角平分线。方法2：（角平分线的判定定理）到角两边的距离相等的点在角的平分线上。（此聚智堂数学讲义８命题与角的性质定理的已知和结论都不同）【例题3】1、如图中，E是AB延长线上一点，AC⊥BC、AD⊥BD、AC=AD，求证：∠DEA=∠CEA。2、如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边在直线的同旁作等边三角形ABD、BCE，连结AE交BD于M，连结CD交BE于N，连结MN，求证：△BMN是等边三角形。3、已知：如图，AO平分∠EAD和∠EOD；求证：①△AOE≌△AOD②EB=DC4、如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠FAC.DFCBAE聚智堂数学讲义９图(二)图(一)DCAB第二章轴对称专题一：轴对称【基础练习】1.（2010•日照）已知上面四个汽车标志图案，其中是轴对称图形的图案是______________。（只需填入图案代号）．2.（2008•贵阳）如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为_____________cm2．3.下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（）图22A．B．C．D．4.下图均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上．在图中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．(要求：分别在图①、图②、图③中画出三个互不相同的图形)5.（2009•河南）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（）6.如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”。如图（一）中四边形ABCD就是一个“格点四边形”。（1）在图（一）中作出四边形ABCD关于直线BD对称的四边形A'B'C'D'；（2）求图（一）中四边形ABCD的面积；（3）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG，使△EFG的面积等于四边形ABCD的面积且△EFG为轴对称图形。【知识点】1.轴对称与轴对称图形的区别和联系聚智堂数学讲义１０_____________________________________________________2.轴对称的性质：________________________________________________________________________________3.轴对称的作法：作ABC关于直线L的对称图形LBCA专题二：线段的垂直平分线【基础练习】1.（2010•无锡）如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=_____度（1题）（2题）（4题）（5题）2.（2010•黄石）如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为___________3.（2009•黄冈）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于____4.（2009•泉州）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为___________5.（2010•三明）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）A、AE=BEB、AC=BEC、CE=DED、∠CAE=∠B6.（2010•巴中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）聚智堂数学讲义１１A、△ABC的三条中线的交点B、△ABC三边的中垂线的交点C、△ABC三条角平分线的交点D、△ABC三条高所在直线的交点【知识点】1.线段的垂直平分线的作法：AB2.线段的垂直平分线的性质与判定：_________________________________________________________【复习检测】1.（2010•娄底）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．MNDABC2.如图，AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线分别交AB、AC于N、M两点，求证：ND∥AC。专题三：等腰三角形【基础练习】1.（2010•无锡）下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（）A、两边之和大于第三边B、有一个角的平分线垂直于这个角的对边C、有两个锐角的和等于90°D、内角和等于180°2.（2007•重庆）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶