概率论期末考试试题

1.全概率公式贝叶斯公式1.某保险公司把被保险人分成三类：“谨慎的”、“一般的”和“冒失的”。统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.3。并且它们分别占投保总人数的20%，50%和30%。现已知某保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”保险户的概率是多少？解：设Ai、A2、A3分别表示“谨慎的”“一般的”和“冒失的”保险户，B表示“发生事故”，由贝叶斯公式知057.030.03.015.05.005.02.005.02.0)|()()|()()|()()|()()|(332211111ABPAPABPAPABPAPABPAPBAP2.老师在出考题时,平时练习过的题目占60%.学生答卷时,平时练习过的题目在考试时答对的概率为90%,平时没练习过的题目在考试时答对的概率为30%,求:(1)考生在考试中答对第一道题的概率;(2)若考生将第一题答对了,那么这题是平时没有练习过的概率.3.在蔬菜运输中，某汽车运输公司可能到甲、乙、丙三地去拉菜的概率依次为0.2,0.5,0.3。在三地拉到一级菜的概率分别为10%，30%，70%。1）求能拉到一级菜的概率；2）已知拉到一级菜，求是从乙地拉来的概率。解：1、解：设事件A表示拉到一级菜，1B表示从甲地拉到，2B表示从乙地拉到，3B表示从丙地拉到则1()0.2PB，2()0.5PB；3()0.3PB1()0.1PAB，2()0.3PAB,3()0.7PAB则由全概率公式得31()()(/)iiiPAPBPAB=0.20.10.50.30.30.70.38—（7分）(2)拉的一级菜是从乙地拉得的概率为222()()0.50.3()0.3947()0.38PBPABPBAPA—————————（10分）2.一维随机变量5.设随机变量X在区间[0,1]上服从均匀分布，求随机变量2XY=e的密度函数.6.).1,0(~-XY),,N(~X2N用分布函数法证明：已知证明:设baXYxfXx),(~,则0a时,Y~)(yfY=a1)(abyYf)1,0(~212)()()()()()(22)(222NYeeyfyFyFyfyFyXPyXyYPyFyyXXYYXY7.设随机7.变量X的密度函数21()101cxfxxx求（1）c的值；（2）1{}2PX；（3）EX(4)X的分布函数.解：(1)由密度函数的性质1+-f(x)dx得：22111ccdxdxxx++1---1f(x)dx故c=1--------------------------------（4分）(2)1122112221111{}sin|231PXdxarcxx----------（7分）(3)EX=22011xxdxdxxx++1---1xf(x)dx---（10分）8.设连续型随机变量X的分布函数为111000)(xxxAxxF，求:(1)系数A;(2)X的分布密度f(x);(3)25.0X0P解：(1)A=1;(2)其它01x021)(xxf;(3)0.53.二维随机变量10.设（X，Y）的分布为YX-101-1011/81/81/81/801/81/81/81/8证明X与Y不相关，也不独立。证明：cov（X，Y）=EXY-EXEY--------（1分）而EXY=0EX=0，EY=0--------------（3分）cov(,)0XYXYDXDY故X与Y不相关。--------（5分）下证独立性{0,0}0PXY{0}1/4PXP{Y=0}=1/4-------（8分）{0,0}{0}{0}PXYPXPY故X与Y也不独立。----------------（10分）11.(X,Y)服从区域D上的均匀分布,22{(,)4}Dxyxy，证明X与Y不独立也不相关.12.设随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布，其中D={(x,y)|x2+y21},求：（1）X与Y的边缘密度函数；（2）判断X与Y是否独立。解：(1)fX(x)=其它0112xx，fY(y)=其它0112yy(2)X与Y不独立。4.中心极限定理13.某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7，各机床开关独立，开动时每部要耗电15个单位，问至少要供应该车间多少单位电能，才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.((1.64)=0.95,42≈6.48).解：X用表示任一时刻车间有同型号机床，则~(200,0.7)XB，则140EX,42DX——（3分）假定至少需要m单位电能，则有：()0.9515mPX由中心极限定理可得：14014014015150.95()()()15424242mmmXPXP———（8分）从而有：140151.6442m，所以2265m，故至少需准备2265单位电能—————（10分）14.某学院校园网中家属区每晚约有400台电脑开机,而每台电脑约有54的时间登入互联网,并且假定各台电脑是否上互联网彼此无关,计算其中至少300台同时在互联网上的概率.((2.5)=0.99379)15.某计算机有120个终端，每个终端在一小时内平均有3分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否相互独立，求至少有10个终端同时使用打印机的概率。((1.68)=0.95352,7.5≈2.3874)解：每个终端使用打印机的概率为p=1/20，设同时有X个终端使用，则X～B(120,1/20)，EX=np=6，DX=npq=5.7，由于n=120很大，由中心极限定理，近似地X～N(6,5.7)∴P(X≥10)=1-F(10)=1-(7.5610)=1-(1.68)=1-0.95352=0.0464816.某种电子元件的寿命服从指数分布，已知其平均寿命为100小时，将3个这样的元件串联在一个线路中，求：在150小时后线路仍正常工作的概率。解：由题可知0.01-----------（2分）则某电子元件的寿命超过150小时的概率为1.5{150}1(150)pPXFe-----------（8分）故三个串联150小时仍正常的概率为34.5pe--------（10分）5.极大似然估计17.设总体X的密度函数为);(xf其它001xex(0),若),,,(21nXXX为来自总体的一个样本,求未知参数的最大似然估计值.18.设总体X的分布密度为其他00,10)(1xxxf，若XXXn12，，，为来自总体的一个样本,求未知参数的最大似然估计。解：似然函数L(X1,X2,…Xn,)=11inixlnL=nlnθ+ln(θ-1)niiX1ln，由0lndLd解得所求最大似然估计量niiXn1lnˆ19.设XXXn12，，，为总体X的一个样本，且X的概率分布为,3,2,1,)1(}{1kppkXPk,12nxxx，，，为来自总体X的一个样本观察值，求p的极大似然估计值.证明：