第五章抽样估计3

1回顾：区间估计的一般步骤:1.寻找参数θ的一个好的点估计量T;2.寻找θ和估计量T的函数U(θ,T),且分布已知;3.由P(a≤U(θ,T)≤b)=1-α查表得a,b;4.对“a≤U(T,θ)≤b”作等价变形,得到则就是θ在1-α下的置信区间.)ˆ,ˆ(211}ˆˆ{P212目标要求1、了解正态总体方差的区间估计2、熟悉大样本二项分布、泊松分布总体参数的区间估计3、了解小样本二项分布、泊松分布总体参数的区间估计3三、正态总体方差的区间估计标准型：若总体X~N(μ,σ2)，且μ,σ2未知，x1,x2,…xn是来自总体的样本值，求σ的置信度1-α的置信区间。))1n((~S)1n()S,(T)2(22222取(3)对给定置信水平1-α22/22/1α/2α/21-αf(x)1))1n(S)1n()1n((P22/2222/1解(1)选σ2的点估计为S24所以σ2的1-α置信区间为))1n(S)1n(,)1n(S)1n((22/1222/2总体标准差σ的1-α置信区间为)S)1n(1n,S)1n(1n(22/122/1))1n(S)1n()1n(S)1n((P)4(22/12222/2变形，5例14从某地随机抽取13人，测得血磷值为1.67,1.98,2.33,2.34,2.5,3.6,3.73,4.14,4.17,4.57,4.82,5.78，若血磷值近似服从正态分布,求总体方差σ2的0.9置信区间.解n=13,自由度df=12226.5)12()12(295.022/1.01当1-α=0.9时，α=0.1,查附表6得026.21)12()12(205.022/1.06701.1.)xx(1n1Sn1i2i2又971.0026.21701.112)1n(S)1n(22/2所以906.3226.5701.112)1n(S)1n(22/12故σ2的0.9置信区间为（0.971,3.906).7§5.4二项分布、泊松分布总体参数的区间估计前面介绍的区间估计方法都是正态总体的情况，解决的也是计量资料问题。本节讨论总体服从二项分布和泊松分布的情况，解决计数资料参数的区间估计问题。一、小样本精确估计方法（n≤50)二、大样本正态近似估计方法（n50)81、二项分布参数P的区间估计总体(概)率P：具有某种特征的个体数与总体数的比率，如有效率、发病率。总体率一般未知，需要根据样本值进行区间估计。样本(概)率p:具有某种特征的个体数占样本容量的比率。重复抽取n个个体可看作n重贝努利试验，则具有某种特征的个体数X~B(n，P)。一、小样本精确估计方法（n≤50)9在小样本情况下，用公式直接计算很复杂，通常通过查表得到。只要给出n,k和α(常用0.05及0.01)，就可从附表9中查出总体率P的1-α置信区间.例17设用某种药物治疗近视眼,随机抽取样20例作为样本，结果12例有效，求总体有效率的0.95的置信区间.解显然,是二项分布参数P的区间估计n=20,k=12,1-α=0.95查附表9得0.95的置信区间(0.361,0.809)102、泊松分布参数λ的区间估计设总体服从参数λ的泊松分布，x1,x2,…xn是来自总体的样本值（xi为第i次抽样事件发生的次数，注意与二项分布中xi的区别）。样本总计数--各次试验事件发生次数之和，niixX1记作在小样本情况下，通常也是通过查表得到。只要给出样本总计数X和α，就可从附表10中查出总体参数nλ的1-α置信区间，将其上下限再除以n即得参数λ的1-α置信区间。11例18从一份充分混合的井水中随机抽取3次水样(每次1ml)，经检查有20只细菌，求每毫升井水所含细菌数的0.99的置信区间。解井水含细菌是稀有事件，则本题为泊松分布均数λ的区间估计。设xi（i=1,2,3)为第i次抽样所含细菌数，则X=x1+x2+x3=20,n=3,1-α=0.99。查附表10得，总体参数3λ的0.99置信区间(10.35,34.67)则每毫升井水所含细菌数的0.99的置信区间(3.45,11.56)。12二、大样本正态近似估计方法（计数样本容量n50)1、二项分布参数P的区间估计从总体中抽取容量为n的样本，可看做n重贝努利试验，所以具有某种特征的的样本数X~B(n,P)，且E(X)=nP,V(X)=nP(1-P)，则样本率nPPpVPpEnXp)1()(,)(也服从二项分布，且这说明样本率p是总体率P的无偏估计量。13由中心极限定理，在大样本情况下(n足够大)，样本率p近似服从正态分布N(P,P(1-P)/n).则样本率p的标准化随机变量)1,0(~)1(NnPPPpu为计算方便，在大样本情况下(n足够大)，常用样本率p代替总体率P计算样本率p的标准差，即)1,0(~)1(NnppPpu141)n)p1(pupPn)p1(pup(P)4(22变形，所以总体率P的1-α置信区间为))1(,)1((22nppupnppupn)p1(pup2简记为（3）对给定置信水平1-α1)u|n)p1(pPp(|P2))1,0(N(~n)p1(pPp)P,p(U)2(取(1)总体率P以样本率p为点估计量。用求区间估计的一般步骤求出P的置信区间：15例19随机抽查了某校200名沙眼患者，经治疗有168名治愈，求总体治愈率的0.95的置信区间.解样本治愈率p=168/200=0.84,α=0.05查附表4得u0.05/2=1.96总体治愈率的0.95置信区间051.084.0200)84.01(84.096.184.0即(0.789,0.891)162、泊松分布参数λ的区间估计设总体X服从泊松分布P(λ),则E(X)=V(X)=λ若x1,x2,…xn是来自总体的样本值(xi为第i次抽样事件发生的次数),则n1iin1ii)x(En1)xn1(E)x(E这说明样本均值是参数λ的无偏估计。n1ii2n1iin)x(Vn1)xn1(V)x(V17由中心极限定理，在大样本情况下(n足够大)，样本均值近似服从正态分布N(λ,λ/n).则样本均值的标准化随机变量)1,0(~/Nnxu因为计算方便，在大样本情况下(n足够大)，常用样本均值代替λ计算样本均值的标准差，则有)1,0(~/Nnxxu若实际中只得到样本总计数niixX1nXnXxx,这时)1,0(~//NnXnXu从而有18(3)对给定置信水平1-α1)|//(|2unXnXP现用求区间估计的一般步骤求出λ的置信区间：为点估计量以nXx)1())1,0((~//),(2NnXnXXU）取（191)()4(22nXunXnXunXP变形，所以总体均数λ的1-α置信区间为),(22nXunXnXunXnXunX2简记为而总体总计数nλ的1-α置信区间为),(22XuXXuXXuX2简记为20例20用一种计数器测定某放射性标本，10分钟获得脉冲数为16784，求10分钟及每分钟总体总脉冲数的0.95置信区间.解样本总计数X=16784,n=10,α=0.05查附表4得u0.05/2=1.96所以10分钟总体总脉冲数的0.95置信区间为254167841678496.1167842XuX即(16530,17038）故每分钟总体总脉冲数的0.95置信区间为(1653,1703.8)。21小结1、正态总体方差的区间估计2、大样本二项分布、泊松分布总体参数的区间估计3、小样本二项分布、泊松分布总体参数的区间估计练习：P1171821