模式识别支持向量机SVM课件

内容•SVM的理论基础•线性判别函数和判别面•最优分类面•支持向量机SVM的理论基础•传统的统计模式识别方法只有在样本趋向无穷大时，其性能才有理论的保证。统计学习理论（STL）研究有限样本情况下的机器学习问题。SVM的理论基础就是统计学习理论。•传统的统计模式识别方法在进行机器学习时，强调经验风险最小化。而单纯的经验风险最小化会产生“过学习问题”，其推广能力较差。•推广能力是指:将学习机器(即预测函数,或称学习函数、学习模型)对未来输出进行正确预测的能力。SVM的理论基础•“过学习问题”：某些情况下，当训练误差过小反而会导致推广能力的下降。例如：对一组训练样本(x,y),x分布在实数范围内，y取值在[0，1]之间。无论这些样本是由什么模型产生的，我们总可以用y=sin(w*x)去拟合，使得训练误差为0.SVM的理论基础•根据统计学习理论，学习机器的实际风险由经验风险值和置信范围值两部分组成。而基于经验风险最小化准则的学习方法只强调了训练样本的经验风险最小误差，没有最小化置信范围值，因此其推广能力较差。•Vapnik与1995年提出的支持向量机（SupportVectorMachine,SVM）以训练误差作为优化问题的约束条件，以置信范围值最小化作为优化目标，即SVM是一种基于结构风险最小化准则的学习方法，其推广能力明显优于一些传统的学习方法。SVM的理论基础•由于SVM的求解最后转化成二次规划问题的求解，因此SVM的解是全局唯一的最优解•SVM在解决小样本、非线性及高维模式识别问题中表现出许多特有的优势，并能够推广应用到函数拟合等其他机器学习问题中.线性判别函数和判别面•一个线性判别函数(discriminantfunction)是指由x的各个分量的线性组合而成的函数•两类情况:对于两类问题的决策规则为•如果g(x)=0，则判定x属于C1，•如果g(x)0，则判定x属于C2()gxwxb线性判别函数和判别面•方程g(x)=0定义了一个判定面，它把归类于C1的点与归类于C2的点分开来。•当g(x)是线性函数时，这个平面被称为“超平面”(hyperplane)。•当x1和x2都在判定面上时，•这表明w和超平面上任意向量正交，•并称w为超平面的法向量。超平面1212()0wxbwxbwxx或　　线性判别函数和判别面判别函数g(x)是特征空间中某点x到超平面的距离的一种代数度量.2||||(),||||()()||||(0,||||)||||||||()||||pppppwxxrwwxxrgxwxbwgxwxbwwxrb将代入中我们有线性判别函数和判别面广义线性判别函数在一维空间中，没有任何一个线性函数能解决下述划分问题（黑红各代表一类数据），可见线性判别函数有一定的局限性。线性判别函数和判别面广义线性判别函数•如果建立一个二次判别函数g(x)=(x-a)(x-b)，则可以很好的解决上述分类问题。•决策规则仍是：如果g(x)=0，则判定x属于C1，如果g(x)0，则判定x属于C2。线性判别函数和判别面线性判别函数和判别面广义线性判别函数最优分类面•SVM是从线性可分情况下的最优分类面发展而来的,基本思想可用下图的两维情况说明.图中,方形点和圆形点代表两类样本,H为分类线,H1,H2分别为过各类中离分类线最近的样本且平行于分类线的直线,它们之间的距离叫做分类间隔(margin)。所谓最优分类线就是要求分类线不但能将两类正确分开(训练错误率为0),而且使分类间隔最大.推广到高维空间，最优分类线就变为最优分类面。最优分类面设线性可分的样本集:D维空间中的线性判别函数:这样分类间隔就等于,因此要求分类间隔最大,就要求最大.而要求分类面对所有样本正确分类,就是要求满足{,},1,...,{1,1},diiiixyilyxR1211221122~~1,2:1212:(),0.:0;:;:,2:;::;:::1;:1dgXwxbwxbkkHwxbHwxbkHwxbkkHwxbkkkHwxbkkkHHHwxbkHwxbkHwxbHwxb维空间中的判别函数分类面方程为设令重写归一化2w2w()11,...,iiywxbil　　,　　使等号成立的样本点称为支持向量最优分类面求最优分类面(最大间隔法)已知：求解：目标：最优分类面这是一个二次凸规划问题，由于目标函数和约束条件都是凸的，根据最优化理论，这一问题存在唯一全局最小解．{,},1,...,{1,1},diiiixyilyxR21min||||2..()1(1,2,...,)iiwstywxbil　＋0wxb原问题最优分类面•凸集和凸函数1212.,).nSRxxSxxS凸集:称S是凸集，如果对任意和任意的［0，1］都有　　+(1-121212.,))())().nSRxxSfxxfxfx凸函数:称S是非空凸集,f是定义在Ｓ上的函数．称函数f是凸函数，如果对任意和任意的［0，1］都有　　(+(1-(1-凸函数的极小：若问题有局部解，则这个局部解是整体解．最优分类面首先建立Lagrange函数21(,,)[()1]2(,,)0(,,)0liiiiwJwbywxbJwbwJwbb条件１：　条件2：　最终可得到()111111***,111()(,,)2(){},00*(,...,)**(),{|llljijijiiiijliiliiiTillliijiijiijiiQJwbyyxxQLagrangeyilwyxbyyxxjj，　寻找最大化目标函数的乘子满足约束条件(1)(2)　　对于=1,...,　　　解得进而　　0}对偶问题最优分类面线性不可分的情况下，可以条件中增加一个松弛项成为()1iiywxb＋已知：求解：目标：最优分类面{,},1,...,{1,1},diiiixyilyxR0wxb0),...,2,1(1)()||||21min(12iiiiniinibxwyCw1,0lii{}()1iiiywxb＋折衷考虑最少错分样本和最大分类间隔，就得到广义最优分类面，其中，C0是一个常数，它控制对错分样本惩罚的程度。支持向量机•上节所得到的最优分类函数为：•该式只包含待分类样本与训练样本中的支持向量的内积运算，可见,要解决一个特征空间中的最优线性分类问题,我们只需要知道这个空间中的内积运算即可。•对非线性问题,可以通过非线性变换转化为某个高维空间中的线性问题,在变换空间求最优分类面.这种变换可能比较复杂,因此这种思路在一般情况下不易实现.****1()sgn{}sgn{()}liiiifxwxbyxxb支持向量机•核:11221,21,21212,,,(,)()().(,...)()((),...,())={()|}:()()(,,)lnKxzXKxzxzXFxxxxxxXFxxXxxxxxxxx核是一个函数对所有满足这里是从输入空间到到特征空间的映射将输入空间映射到一个新的空间例如支持向量机(,)(()())iiiiKxyxy**1()sgn{(,)}liiiifxyKxxb支持向量机核函数的选择支持向量机SVM方法的特点•①非线性映射是SVM方法的理论基础,SVM利用内积核函数代替向高维空间的非线性映射;•②对特征空间划分的最优超平面是SVM的目标,最大化分类边界的思想是SVM方法的核心;•③支持向量是SVM的训练结果,在SVM分类决策中起决定作用的是支持向量。•SVM是一种有坚实理论基础的新颖的小样本学习方法。它基本上不涉及概率测度及大数定律等,因此不同于现有的统计方法。从本质上看,它避开了从归纳到演绎的传统过程,实现了高效的从训练样本到预报样本的“转导推理”(transductiveinference),大大简化了通常的分类和回归等问题。支持向量机SVM方法的特点•SVM的最终决策函数只由少数的支持向量所确定,计算的复杂性取决于支持向量的数目,而不是样本空间的维数,这在某种意义上避免了“维数灾难”。•少数支持向量决定了最终结果,这不但可以帮助我们抓住关键样本、“剔除”大量冗余样本,而且注定了该方法不但算法简单,而且具有较好的“鲁棒”性。这种“鲁棒”性主要体现在:–①增、删非支持向量样本对模型没有影响;–②支持向量样本集具有一定的鲁棒性;–③有些成功的应用中,SVM方法对核的选取不敏感。支持向量机•SVM本质上是两类分类器.•常用的SVM多值分类器构造方法有: