16 12.1 轴对称(2)

12.1轴对称（2）第十二章轴对称义务教育课程标准实验教科书——人教版——八年级上册活动一：复习回顾观察下图中的每组图案，你能找出成轴对称的图形吗？观察下图中的图案，你能找出每个图形的对称轴吗？通过图形再次理解了轴对称图形和关于直线成轴对称两个概念，请大家回忆一下，它们有什么区别和联系？轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形，不受位置的影响；轴对称是说两个图形的位置关系，受到位置的影响。联系：⑴都能沿着某条直线折叠重合。这条直线都对称轴。⑵如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是轴对称图形。活动二：探究1如图，△ABC和△关于直线MN对称，点、、分别是点A、B、C的对称点,线段、、与直线MN有什么关系?CBAABCBBAACCAP＝∠MPA＝∠＝APAMP090将△ＡＢＣ和△沿ＭＮ折叠后，点Ａ与点重合，于是有:ACBAP点平分AA直线MN⊥，AAMN垂直平分AA用上述方法，你还能得其它的结论吗？DECE=CEBD=BD归纳：对称轴所在的直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条直线。∠MEC=∠=CME090∠MDB=∠=BMD090点D是的中点，BBMN⊥BBMN垂直平分BB点D是的中点，CCMN⊥CCMN垂直平分CC知识点1：线段的垂直平分线经过线段的中点并且垂直于这条线段直线，叫做这条线段的垂直平分线。（1）∵直线CD为AB的垂直平分线∴AB⊥CD，OA=OBABCDO（2）∵AB⊥CD，OA=OB∴直线CD为AB的垂直平分线知识点2：轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？∵L垂直平分AB∴P1A=P1B，P2A=P2B……….线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离相等.活动三：探究2线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离相等.你能证明这一结论吗?已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点.求证:PA=PB.ACBPMN分析:(1)要证明PA=PB,而△APC≌△BPC的条件由已知故结论可证.AC=BC,MN⊥AB,可推知其能满足（SAS）就需要证明PA,PB所在的△APC≌△BPC，性质1线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离相等.温馨提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.ACBPMN应用格式：如图∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知)∴PA=PB(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离相等).知识点3：线段垂直平分线的性质1用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出去的方向与木棒垂直呢？为什么？活动四：探究3CBAABC性质2：与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.ACBPMN应用格式：如图,∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).温馨提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.知识点4：线段垂直平分线的性质2线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。反之，与线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上。所以，线段垂直平分线可以看作到线段两端的距离相等的所有点的集合。归纳：角的平分线ODEABPC性质1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。性质2到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合线段的垂直平分线性质1线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。性质2和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合ABMNP点的集合是一条射线点的集合是一条直线1、如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？解：∵AD⊥BC，BD=DC∴AB=AC（线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。）∵点C在AE的垂直平分线上∴AC=CE（线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。）∴AB=AC=CE∴AB+BD=CD+CE=DE活动五：巩固练习2、如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？分析：由AB=AC,MB=MC,可知点A,M都在线段BC的垂直平分线上根据:两点确定一条直线,直线AM就是BC的垂直平分线.解：∵AB=AC∴点A在线段BC的垂直平分线上∵MB=MC∴点M在线段BC的垂直平分线上∴直线AM就是BC的垂直平分线.3、如图所示，在△ABC中，AB=AC＝32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，求△BCN的周长。NMCBA解:∵MN是AB的垂直平分线∴NA=NB∴BN+NC=AN+NC=AC又∵BC=21,AC=32∴BC+BN+NC=21+32=53答:△BCN的周长为53.4、已知：△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。求证：PA=PB=PC.PABC结论：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等。(外心)证明:∵P点在AB的垂直平分线上∵P点在BC的垂直平分线上∴PA=PB∴PB=PC∴PA=PB=PC通过这题,你发现了什么结论?EFD如图，3班与4班两个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且PM=PN，请你用折纸的方法找出P点并说明理由。MNBCAP活动六：数学与生活如图，连结MN，作出MN的垂直平分线EF,作∠BAC的平分线AD与EF相交于点P，点P即为所求。理由如下：ABA′如图，EFGH是矩形的台球桌面，有两球分别位于A、B两点的位置，试问怎样撞击A球，才能使A球先碰撞台边EF反弹后再击中B球？EFGH解：1．作点A关于EF的对称点A′2．连结A′B交EF于点C则沿AC撞击黑球A，必沿CB反弹击中白球B。C（4）与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.（1）线段是轴对称图形。（2）垂直并且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。简称中垂线。（3）线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点距离相等。活动七：小结与作业一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式”，很长时间没有人答出，小兰很快解决了这道题目，你知道她是怎样做的吗？