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-1-第八节函数与方程【考纲下载】1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．1．函数的零点与方程的实数解(1)函数的零点：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)利用函数性质判定函数零点：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．2．二分法每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)0吗？提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)0.3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？提示：不一定，可能有多个．1．(教材习题改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的-2-是()ABCD解析：选C由图象可知，选项C所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解．2．(教材习题改编)用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)0，则此时零点x0所在的区间为()A．(2,4)B．(3,4)C．(2,3)D．(2.5,3)解析：选C∵f(2)·f(4)0，f(2)·f(3)0，∴f(3)·f(4)0，∴零点x0所在的区间为(2,3)．3．函数f(x)＝log2x＋x－4的零点所在的区间是()A.12，1B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：选C因为f(2)＝log22＋2－4＝－10，f(3)＝log23－10，所以f(2)·f(3)0，故零点所在的一个区间为(2,3)．4．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选B函数f(x)＝ex＋3x零点的个数，即为函数y＝ex与y＝－3x图象交点的个数．在同一坐标系下画出y＝ex与y＝－3x的图象如图．故函数f(x)＝ex＋3x只有一个零点．5．函数y＝12|x|－m有两个零点，则m的取值范围是________．-3-解析：在同一直角坐标系内，画出y1＝12|x|和y2＝m的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0m1.答案：(0,1)考点一确定函数零点所在区间[例1](1)(2014·西安模拟)函数f(x)＝2x＋ln1x－1的零点所在的大致区间是()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(1,2)与(2,3)(2)(2013·重庆高考)若abc，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内[自主解答](1)f(x)＝2x＋ln1x－1＝2x－ln(x－1)．当1x2时，ln(x－1)0，2x0，所以f(x)0，故函数f(x)在(1,2)上没有零点．f(2)＝1－ln1＝1，f(3)＝23－ln2＝2－3ln23＝2－ln83，∵8＝22≈2.828e，∴8e2，即ln82，即f(3)0，又f(4)＝12－ln30，∴f(x)在(2,3)内存在一个零点．(2)易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又abc，则f(a)0，f(b)0，f(c)0，又该函数是二次函数，且开口向上，可知两根分别在(a，b)和(b，c)内．[答案](1)B(2)A【方法规律】判断函数零点所在区间的方法判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．-4-1．方程log3x＋x＝3的根所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：选C法一：方程log3x＋x＝3的根即是函数f(x)＝log3x＋x－3的零点，由于f(2)＝log32＋2－3＝log32－10，f(3)＝log33＋3－3＝10且函数f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数．∴函数f(x)的零点即方程log3x＋x＝3的根所在区间为(2,3)．法二：方程log3x＋x＝3的根所在区间即是函数y1＝log3x与y2＝3－x交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示．由图知方程log3x＋x＝3的根所在区间为(2,3)．2．在下列区间中，函数f(x)＝e－x－4x－3的零点所在的区间为()A.－34，－12B.－12，－14C.－14，0D.0，14解析：选B易知函数f(x)在R上是单调减函数．对于A，注意到f－34＝e34－4×－34－3＝e340，f－12＝e12－4×－12－3＝e12－10，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间－34，－12上；对于B，注意到f－120，f－14＝e14－4×－14－3＝e14－2414－20，因此在区间－12，－14上函数f(x)＝e－x－4x－3一定存在零点；对于C，注意到f－140，f(0)＝－20，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间－14，0上；对于D，注意到f(0)＝－20，f14＝e－14－4×14－3＝e－14－40，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间0，14上．考点二判断函数零点的个数[例2](1)(2014·郑州模拟)函数f(x)＝x2－2x在x∈R上的零点的个数是()-5-A．0B．1C．2D．3(2)已知函数f(x)＝x＋1，x≤0，log2x，x0，则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是()A．4B．3C．2D．1[自主解答](1)注意到f(－1)×f(0)＝12×(－1)0，因此函数f(x)在(－1,0)上必有零点．又f(2)＝f(4)＝0，因此函数f(x)的零点个数是3.(2)由f(f(x))＋1＝0可得f(f(x))＝－1.又由f(－2)＝f12＝－1，可得f(x)＝－2或f(x)＝12.若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝14；若f(x)＝12，则x＝－12或x＝2，综上可得函数y＝f(f(x))＋1有4个零点．[答案](1)D(2)A【互动探究】若将本例(1)中的函数改为“f(x)＝x12－12x”，该如何选择？解析：选B因为y＝x12在x∈[0，＋∞)上单调递增，y＝12x在x∈R上单调递减，所以f(x)＝x12－12x在x∈[0，＋∞)上单调递增．又f(0)＝－10，f(1)＝120，所以f(x)＝x12－12x在定义域内有唯一零点，故应选B.【方法规律】判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．-6-1．(2013·天津高考)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选B易知函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数⇔方程|log0.5x|＝12x＝12x的根的个数⇔函数y1＝|log0.5x|与y2＝12x的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点．2．已知符号函数sgn(x)＝1，x0，0，x＝0，－1，x0，则函数f(x)＝sgn(x－1)－lnx的零点个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C依题意得，当x－10，即x1时，f(x)＝1－lnx，令f(x)＝0得x＝e1；当x－1＝0，即x＝1时，f(x)＝0－ln1＝0；当x－10，即x1时，f(x)＝－1－lnx，令f(x)＝0得x＝1e1.因此，函数f(x)的零点个数为3.高频考点考点三函数零点的应用1．高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，求函数零点问题，难度较易；利用零点的存在性求相关参数的值，难度较大．2．高考对函数零点的考查主要有以下几个命题角度：(1)已知函数的零点或方程的根所在的区间，求参数；(2)已知函数的零点或方程的根的个数，求参数；(3)利用函数的零点比较大小．[例3](1)(2013·天津高考)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则()A．g(a)0f(b)B．f(b)0g(a)C．0g(a)f(b)D．f(b)g(a)0-7-(2)(2011·山东高考)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a0，且a≠1)．当2a3b4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.(3)(2011·北京高考)已知函数f(x)＝2x，x≥2，x－3，x2.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．[自主解答](1)∵f(x)在R上为增函数，且f(0)＝e0－20，f(1)＝e－10，又f(a)＝0，∴0a1.∵g(x)＝lnx＋x2－3，∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，又g(1)＝ln1－2＝－20，g(2)＝ln2＋10，且g(b)＝0，∴1b2，即ab，∴fbfa＝0，gagb＝0.(2)∵2a3b4，∴f(x)＝logax＋x－b在(0，＋∞)上为增函数．当x＝2时，f(2)＝loga2＋2－b0；当x＝3时，f(3)＝loga3＋3－b0，∴f(x)的零点x0在区间(2,3)内，∴n＝2.(3)在同一坐标系中作出f(x)＝2x，x≥2，x－3，x2及y＝k的图象，如图．可知，当0k1时，y＝k与y＝f(x)的图象有两个交点，即方程f(x)＝k有两个不同的实根．[答案](1)A(2)2(3)(0,1)函数零点应用问题的常见类型及解题策略(1)已知函数零点求参数．根据函数零点或方程的根所在的区间求解参数应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．(2)已知函数零点的个数求参数．常利用数形结合法．(3)借助函数零点比较大小．要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．-8-1．函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)解析：选C由条