【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)函数的单调性与最值 理 北师大版

-1-第二节函数的单调性与最值【考纲下载】1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.1．增函数与减函数的定义增函数减函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2∈A当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的图像描述自左向右看图像是逐渐上升的自左向右看图像是逐渐下降的2.单调区间、单调性及单调函数(1)单调区间：如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间，在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．(2)单调性：如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数：如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，那么分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．3．函数的最值(1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．(2)最值：函数的最大值和最小值统称为最值．-2-1．如果一个函数在定义域内的几个区间上都是增(减)函数，能不能说这个函数在定义域上是增(减)函数？提示：不能．如函数y＝1x在(0，＋∞)及(－∞，0)上都是减函数，但函数y＝1x在定义域上不是单调函数．2．当一个函数的增区间(或减区间)有多个时，能否用“∪”将函数的单调增区间(减区间)连接起来？提示：不能直接用“∪”将它们连接起来．如函数y＝1x的单调递减区间有两个：(－∞，0)和(0，＋∞)．不能写成(－∞，0)∪(0，＋∞)．1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()A．y＝3－xB．y＝1xC．y＝－x2＋4D．y＝|x|解析：选D函数y＝3－x，y＝1x，y＝－x2＋4在(0,1)上都是减函数，y＝|x|在(0,1)上是增函数．2．(教材习题改编)如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则()A．a＝－2B．a＝2C．a≤－2D．a≥2解析：选C函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b的对称轴为x＝1－a3，即函数f(x)的单调递减区间为－∞，1－a3.所以1－a3≥1，即a≤－2.3．若函数f(x)满足“对任意x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”，则满足f1x＜f(1)的实数x的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C由题意知，函数f(x)为R上的减函数，且f1xf(1)，∴1x1，即|x|1且|x|≠0.∴x∈(－1,0)∪(0,1)．-3-4．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．解析：因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－12.答案：－∞，－125．(教材习题改编)函数f(x)＝2x－1，x∈[2,6]．下列命题：①函数f(x)为减函数；②函数f(x)为增函数；③函数f(x)的最大值为2；④函数f(x)的最小值为25.其中真命题的是________(写出所有真命题的编号)．解析：易知函数f(x)＝2x－1在x∈[2,6]上为减函数，故f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝25.答案：①③④考点一函数单调性的判断与证明[例1]已知函数f(x)＝x2＋1－ax，其中a0.(1)若2f(1)＝f(－1)，求a的值；(2)证明：当a≥1时，函数f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数．[自主解答](1)由2f(1)＝f(－1)，可得22－2a＝2＋a，所以a＝23.(2)证明：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1x2，f(x1)－f(x2)＝x21＋1－ax1－x22＋1＋ax2＝x21＋1－x22＋1－a(x1－x2)＝x21－x22x21＋1＋x22＋1－a(x1－x2)＝(x1－x2)x1＋x2x21＋1＋x22＋1－a.∵0≤x1x21＋1，0x2x22＋1，∴0x1＋x2x21＋1＋x22＋11.-4-又∵a≥1，∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数．【方法规律】利用定义证明函数单调性的步骤取值―→作差―→变形―→确定符号―→得出结论试讨论函数f(x)＝axx2－1，x∈(－1,1)的单调性(其中a≠0)．解：设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝ax1x21－1－ax2x22－1＝ax2－x1x1x2＋x21－x22－.∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x21－1＜0，x22－1＜0，－1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0.∴x2－x1x2x1＋x21－x22－＞0.因此，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x1)＞f(x2)，此时函数在(－1,1)上为减函数；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2)，此时函数在(－1,1)上为增函数．考点二求函数的单调区间[例2]求下列函数的单调区间：(1)y＝－x2＋2|x|＋1；(2)y＝log12(x2－3x＋2)．[自主解答](1)由于y＝－x2＋2x＋x，－x2－2x＋x＜，即y＝－x－2＋x，－x＋2＋x＜画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝log12u与u＝x2－3x＋2的复合函数．-5-令u＝x2－3x＋2＞0，则x＜1或x＞2.∴函数y＝log12(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝32，且开口向上．∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y＝log12u在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y＝log12(x2－3x＋2)的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．【互动探究】若将本例(1)中的函数变为“y＝|－x2＋2x＋1|”，则结论如何？解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2)和(1，1＋2)．【方法规律】函数单调区间的求法(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等．(2)如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．求函数y＝x2＋x－6的单调区间．解：令u＝x2＋x－6，y＝x2＋x－6可以看作y＝u与u＝x2＋x－6的复合函数．由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝u在(0，＋∞)上是增函数．∴y＝x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．-6-高频考点考点三函数单调性的应用1．高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．2．高考对函数单调性的考查主要有以下几个命题角度：(1)利用函数的单调性比较大小；(2)利用函数的单调性解决与抽象函数有关的不等式问题；(3)利用函数的单调性求参数；(4)利用函数的单调性求解最值(或恒成立)问题．[例3](1)(2014·济宁模拟)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)0恒成立，设a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．cabB．cbaC．acbD．bac(2)(2013·天津高考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(log12a)≤2f(1)，则a的取值范围是()A．[1,2]B.0，12C.12，2D．(0,2](3)已知函数f(x)＝a－x＋4a，x1，logax，x≥1满足对任意的实数x1≠x2都有fx1－fx2x1－x20成立，则实数a的取值范围为()A．(0,1)B.0，13C.17，13D.17，1(4)函数f(x)＝1x－1在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是13，则a＋b＝________.[自主解答](1)根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．-7-a＝f－12＝f52，所以bac.(2)由已知条件得f(－x)＝f(x)，则f(log2a)＋f(log12a)≤2f(1)⇒f(log2a)＋f(－log2a)≤2f(1)⇒f(log2a)≤f(1)，又f(log2a)＝f(|log2a|)且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以|log2a|≤1⇒－1≤log2a≤1，解得12≤a≤2.(3)据题意要使原函数在定义域R上为减函数，只需满足3a－10，0a1，a－＋4a≥loga1，解得17≤a13.(4)易知f(x)在[a，b]上为减函数，∴fa＝1，fb＝13，即1a－1＝1，1b－1＝13，∴a＝2，b＝4.∴a＋b＝6.[答案](1)D(2)C(3)C(4)6函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．1．已知f(x)为R上的减函数，则满足f1x＞f(1)的实数x的取值范围是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0,1)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)-8-解析：选D依题意得1x＜1，即x－1x＞0，所以x的取值范围是x＞1或x＜0.2．已知减函数f(x)的定义域是实数集R，m、n都是实数．如果不等式f(m)－f(n)＞f(－m)－f(－n)成立，那么下列不等式成立的是()A．m－n＜0B．m－n＞0C．m＋n＜0D．m＋n＞0解析：选A设F(x)＝f(x)－f(－x)，由于f(x)是R上的减函数，∴f(－x)是R上的增函数，－f(－x)是R上的减函数，∴F(x)为R上的减函数，∴当m＜n时，有F(m)＞F(n)，即f(m)－f(－m)＞f(n)－f(－n)成立，因此当f(m)－f(n)＞f(－m)－f(－n)成立时，不等式m－n＜0一定成立，故选A.3．已知f(x)＝xx－a(x≠a)，若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，则a的取值范围为________．解析：任设1＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝ax2－x1x1－ax2－a.∵a＞0，x2－x1＞0，∴要使f(x1)