【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)平行关系 理 北师大版

-1-第三节平行关系【考纲下载】1．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题．1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)l∥a，aα，l⊄α⇒l∥α性质定理如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)l∥α，lβ，α∩β＝b⇒l∥b2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)a∥β，b∥β，a∩b＝P，aα，bα⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b1．如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行吗？提示：不一定．只有当此直线在平面外时才有线面平行．2．如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都平行吗？提示：不都平行．对于任意一条直线而言，存在异面的情况．3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行吗？-2-提示：不一定．可能平行，也可能相交．4．如果两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？答案：平行．1．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能解析：选D与一个平面平行的两条直线可以平行、相交，也可以异面．2．下列命题中，正确的是()A．若a∥b，bα，则a∥αB．若a∥α，bα，则a∥bC．若a∥α，b∥α，则a∥bD．若a∥b，b∥α，a⊄α，则a∥α解析：选D由直线与平面平行的判定定理知，三个条件缺一不可，只有选项D正确．3．(2013·广东高考)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选Bl∥α，l∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故A项错；由面面平行的判定定理可知B项正确；由l⊥α，l∥β可知α⊥β，故C项错；由α⊥β，l∥α可知l与β可能平行，也可能相交，故D项错．4．(教材习题改编)已知平面α∥β，直线aα，有下列命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．其中真命题的序号是________．解析：由面面平行的性质可知，过a与β相交的平面与β的交线才与a平行，故①错误；②正确；平面β内的直线与直线a平行，异面均可，其中包括异面垂直，故③错误．答案：②5．已知正方体ABCD­A1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是________(只填序号)．①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.解析：连接AD1、BC1，因为AB∥C1D1，AB=C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，故AD1∥BC1，从而①正确；易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；由图易知AD1与DC1异面，故③错误；因AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1平面BDC1，故AD1∥平面BDC1，故④正确．答案：①②④-3-高频考点考点一线面平行的判定及性质1．线面平行的判定及性质是每年高考的必考内容，多出现在解答题中的第(1)、(2)问，难度适中，属中档题．2．高考对线面平行的判定及性质的考查常有以下两个命题角度：(1)以多面体为载体，证明线面平行问题；(2)以多面体为载体，考查与线面平行有关的探索性问题．[例1](1)(2013·福建高考)如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.①当正视方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥P­ABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；②若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；③求三棱锥D­PBC的体积．(2)(2014·日照模拟)如图所示，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在线段CE上．①求证：AE⊥BE；②设点M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面ADE.[自主解答](1)法一：①在梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E.由已知得，四边形ADCE为矩形，AE＝DC＝3，在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依勾股定理得BE＝3，从而AB＝6.又由PD⊥平面ABCD，得PD⊥AD，所以在Rt△PDA中，由AD＝4，∠PAD＝60°，得PD＝ADtan60°＝43.正视图如图(1)所示：-4-图(1)图(2)②证明：如图(2)所示，取PB中点N，连接MN，CN.在△PAB中，∵M是PA中点，∴MN∥AB且MN＝12AB＝3.∵又CD∥AB，CD＝3，∴MN∥CD，MN＝CD，∴四边形MNCD为平行四边形，∴DM∥CN.∵DM⊄平面PBC，CN平面PBC，∴DM∥平面PBC.③VD­PBC＝VP­DBC＝13S△DBC·PD，又∵S△DBC＝6，PD＝43，∴VD­PBC＝83.法二：①同法一．②证明：取AB的中点E，连接ME，DE.在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE∥BC.∵DE⊄平面PBC，BC平面PBC，∴DE∥平面PBC.∵在△PAB中，ME∥PB，ME⊄平面PBC，PB平面PBC，∴ME∥平面PBC.∵DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.∵DM平面DME，∴DM∥平面PBC.③同法一．(2)①证明：由DA⊥平面ABE及AD∥BC，得BC⊥平面ABE，又AEABE，所以AE⊥BC，因为BF⊥平面ACE，AEACE，所以BF⊥AE，又BC∩BF＝B，BC，BFBCE，所以AE⊥平面BCE.因为BEBCE，故AE⊥BE.②在△ABE中，过点M作MG∥AE交BE于点G，在△BEC中，过点G作GN∥BC交CE于点N，连接MN，则由CNCE＝BGBE＝MBAB＝13，得CN＝13CE.因为MG∥AE，AEADE，MG⊄平面ADE，所以MG∥平面ADE，又GN∥BC，BC∥AD，ADADE，GN⊄平面ADE，所以GN∥平面ADE，又MG∩GN＝G，所以平面MGN∥平面ADE，因为MNMGN，所以MN∥平面ADE.故当点N为线段CE上靠近C的一个三等分点时，MN∥平面ADE.-5-线面平行问题的常见类型及解题策略(1)线面平行的证明问题．判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理(a⊄α，bα，a∥b⇒a∥α)；③利用面面平行的性质(α∥β，aα⇒a∥β)；④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(2)线面平行的探索性问题．①对命题条件的探索常采用以下三种方法：a．先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；b．先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；c．把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．②对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设．1.(2013·新课标全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C­A1DE的体积．解：(1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB中点，连接DF，则在△ABC1中，BC1∥DF.因为DF平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC，则AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，AA1，AB平面ABB1A1，所以CD⊥平面ABB1A1.由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，得∠ACB＝90°，CD＝2，A1D＝6，DE＝3，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以VC­A1DE＝13×12×6×3×2＝1.2.如图所示，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.-6-(1)求证：D1C⊥AC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．解：(1)证明：在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，连接C1D，∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C.又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，DC，DD1平面DCC1D1，∴AD⊥平面DCC1D1，又D1C平面DCC1D1，∴AD⊥D1C.∵AD平面ADC1，DC1平面ADC1，且AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1，又AC1平面ADC1，∴D1C⊥AC1.(2)连接AD1，AE，D1E，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN，∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，要使D1E∥平面A1BD，可使MN∥D1E，又M是AD1的中点，则N是AE的中点．又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE.即E是DC的中点．综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.考点二面面平行的判定与性质[例2]如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[自主解答](1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB，A1G=EB,∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【互动探究】在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C交AC1于点H，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴H是A1C的中点，连接HD，-7-∵D为BC的中点，∴A1B∥DH.∵A1B平面A1BD1，DH⊄平面A1BD1，∴DH∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1∥BD，D1C1=BD∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DH＝D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.【方法规律】判定面面平行的四种方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．(2013·陕西高考)如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD­A1B1D1的体积．解：(1)证明：由题设知，BB1∥DD1，BB1=DD1∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B