高中数学选修2-2第三章复数测试题

选修2-2第三章复数测试题时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)题号123456789101112答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．i为虚数单位，1－i1＋i2＝()A．－1B．1C．－iD．i2．设复数z＝1＋2i，则z2－2z等于()A．－3B．3C．－3iD．3i3．若复数z＝(x2－4)＋(x－2)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－2B．0C．2D．－2或24.如右图，在复平面内，向量OP→对应的复数是1－i，将OP→向左平移一个单位后得到O0P0→，则P0对应的复数为()A．1－iB．1－2iC．－1－iD．－i5．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝()A．5－4iB．5＋4iC．3－4iD．3＋4i6．复数z＝1＋i，z为z的共轭复数，则zz－z－1＝()A．－2iB．－iC．iD．2i7.z是z的共轭复数，若z＋z＝2，(z－z)i＝2(i为虚数单位)，则z＝()A．1＋iB．－1－iC．－1＋iD．1－i8．满足条件|z－1|＝|5＋12i|的复数z在复平面上对应Z点的轨迹是()A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆9．定义运算acbd＝ad－bc，则符合条件1z－1zi＝4＋2i的复数z为()A．3－iB．1＋3iC．3＋iD．1－3i10．已知复数z1＝a＋2i，z2＝a＋(a＋3)i，且z1z20，则实数a的值为()A．0B．0或－5C．－5D．以上均不对11．复数z满足条件：|2z＋1|＝|z－i|，那么z对应的点的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线12．设z是复数，α(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，α(i)等于()A．8B．6C．4D．2第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．复数i2(1＋i)的实部是__________．14．复数z＝2＋i1＋i(i为虚数单位)，则z对应的点在第________象限．15．设a，b∈R，a＋bi＝11－7i1－2i(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．16．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R＋，i是虚数单位)是方程x2－4x＋5＝0的根．复数ω＝u＋3i(u∈R)满足|ω－z|25，则u的取值范围为________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．18．(12分)计算：(1)2＋i1－i21－2i；(2)4＋5i5－4i1－i.19.(12分)已知复数z＝－1＋3i1－i－1＋3ii，ω＝z＋ai(a∈R)，当ωz≤2时，求a的取值范围．20．(12分)在复平面内，复数z1在连结1＋i和1－i的线段上移动，设复数z2在以原点为圆心，半径为1的圆周上移动，求复数z1＋z2在复平面上移动范围的面积．21.(12分)设复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足z·z＋(1－2i)·z＋(1＋2i)·z≤3，求|z|的最大值和最小值．22.(12分)关于x的方程x2－(1＋3i)x＋(2i－m)＝0(m∈R)有纯虚根x1.(1)求x1和m的值；(2)利用根与系数的关系猜想方程的另一个根x2，并给予证明；(3)设x1，x2在复平面内的对应点分别为A，B，求|AB|.答案1．A1－i1＋i2＝1－i21＋i2＝－2i2i＝－1，故选A.2．Az2－2z＝z(z－2)＝(1＋2i)(2i－1)＝－2－1＝－3.3．A∵z＝(x2－4)＋(x－2)i为纯虚数，∴{x2－4＝0，x－2≠0，⇒x＝－2.4．D要求P0对应的复数，根据题意，只需知道OP0→，而OP0→＝OO0→＋O0P0→，从而可求P0对应的复数．∵O0P0→＝OP→，OO0→对应的复数是－1，∴P0对应的复数即OP0→对应的复数是－1＋(1－i)＝－i.5．D由a－i与2＋bi互为共轭复数，可得a＝2，b＝1.所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝4＋4i－1＝3＋4i.6．B∵z＝1＋i，∴z＝1－i.∴z·z＝|z|2＝2.∴z·z－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.7．D设z＝a＋bi(a∈R，b∈R)，则z＝a－bi.由z＋z＝2，得2a＝2，即a＝1；又由(z－z)i＝2，得2bi·i＝2，即b＝－1.故z＝1－i.8．C本题中|z－1|表示点Z到点(1,0)的距离，|5＋12i|表示复数5＋12i的模长，所以|z－1|＝13，表示以(1,0)为圆心，13为半径的圆．注意复数的模的定义及常见曲线的定义．9．A由定义，1z－1zi＝zi＋z，所以zi＋z＝4＋2i，所以z＝4＋2i1＋i＝3－i.10．Cz1z2＝(a＋2i)·[a＋(a＋3)i]＝(a2－2a－6)＋(a2＋5a)i，由z1z20知z1z2为实数，且为正实数，因此满足{a2＋5a＝0，a2－2a－60，解得a＝－5(a＝0舍去)．11．A设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|2x＋2yi＋1|＝|x＋yi－i|，即2x＋12＋4y2＝x2＋y－12，所以3x2＋3y2＋4x＋2y＝0，即x＋232＋y＋132＝59.12．C∵α(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，∴α(i)表示满足in＝1的最小正整数n.∵i2＝－1，i4＝1.∴α(i)＝4.13.－1解析：∵i2(1＋i)＝－1－i，∴i2(1＋i)的实部为－1.14．四解析：∵z＝2＋i1＋i＝2＋i1－i2＝3－i2＝32－12i，∴复数z对应点的坐标为32，－12，为第四象限的点．15．8解析：∵a＋bi＝11－7i1－2i，∴a＋bi＝11－7i1＋2i1－2i1＋2i＝5＋3i.根据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3，故a＋b＝8.16．(－2,6)解析：原方程的根为x＝2±i.∵a，b∈R＋，∴z＝2＋i.∵|ω－z|＝|(u＋3i)－(2＋i)|＝u－22＋425，∴－2u6.17．解：∴z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)＝2m2＋m2i－3mi－3m－2＋2i＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i，∴(1)由m2－3m＋2＝0，得m＝1，或m＝2，即m＝1或2时，z为实数．(2)由m2－3m＋2≠0，得m≠1，且m≠2，即m≠1，且m≠2时，z为虚数．(3)由2m2－3m－2＝0，m2－3m＋2≠0，得m＝－12，即m＝－12时，z为纯虚数．18．解：(1)2＋i1－i21－2i＝2＋i－2i1－2i＝21－2i1－2i＝2.(2)4＋5i5－4i1－i＝5－4ii5－4i1－i＝i1－i＝i1＋i1－i1＋i＝i－12＝－12＋12i.19．解：∵z＝2＋4i－1＋3ii＝1＋ii＝－i(1＋i)＝1－i，∴ω＝1＋(a－1)i，∴ωz＝1＋a－1i1－i＝[1＋a－1i]1＋i2＝2－a＋ai2.由ωz≤2，得2－a22＋a22≤2，解得1－3≤a≤1＋3.故a的取值范围是[1－3，1＋3]．20．解：设ω＝z1＋z2，z2＝ω－z1，|z2|＝|ω－z1|，∵|z2|＝1，∴|ω－z1|＝1.上式说明对于给定的z1，ω在以z1为圆心，1为半径的圆上运动，又z1在连结1＋i和1－i的线段上移动，∴ω的移动范围的面积为：S＝2×2＋π×12＝4＋π.21.解：z·z＋(1－2i)·z＋(1＋2i)·z≤3⇒x2＋y2＋(1－2i)(x＋yi)＋(1＋2i)(x－yi)≤3⇒(x＋1)2＋(y＋2)2≤8，即|z＋1＋2i|≤22，所以复数z对应的点的集合是以C(－1，－2)为圆心，22为半径的圆面(包括边界)．又因为|OC|＝522，所以，原点在圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝8的内部，如下图．所以，当z＝－5＋2105－10＋4105i时，|z|max＝5＋22；当z＝0时，|z|min＝0.22．解：(1)由题意，设x1＝bi(b≠0且b∈R)，代入方程，得(bi)2－(1＋3i)·bi＋(2i－m)＝0，即－b2－bi＋3b＋2i－m＝0，即(－b2＋3b－m)＋(2－b)i＝0，所以－b2＋3b－m＝0，2－b＝0，解得b＝2，m＝2.所以x1＝2i，m＝2.(2)由根与系数的关系知x1＋x2＝1＋3i，所以x2＝1＋3i－x1＝1＋3i－2i＝1＋i.证明：把x2＝1＋i代入原方程的左边，得(1＋i)2－(1＋3i)(1＋i)＋(2i－2)＝2i－(－2＋4i)＋(2i－2)＝0，所以x2＝1＋i是方程x2－(1＋3i)x＋(2i－2)＝0的根．(3)由(1)，(2)知，A(0,2)，B(1,1)，所以|AB|＝0－12＋2－12＝2.