第六章样本及抽样分布

1第六章样本及抽样分布【授课对象】理工类本科二年级【授课时数】4学时【授课方法】课堂讲授与提问相结合【基本要求】1、理解总体、个体和样本的概念；2、了解经验分布函数和直方图的作法，知道格林汶科定理；3、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算；4、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论；5、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布——2分布，t分布，F分布；分位数的理解和计算。【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。【授课内容及学时分配】§6.0前言前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一门数学分支。它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性；而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的一门数学分支。所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来选择、构造数学模型（即研究随机现象）。其研究方法是归纳法（部分到整体）。对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。数理统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。§6.1随机样本一、总体与样本1.总体、个体在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个2元素称为个体。例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每个男大学生就是个体。但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几项数量指标X(可以是向量)和该数量指标X在总体的分布情况。在上述例子中X是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X的这样或那样的数值，因而这个数量指标X是一个随机变量（或向量），而X的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。由于我们关心的正是这个数量指标，因此我们以后就把总体和数量指标X可能取值的全体组成的集合等同起来。定义1：把研究对象的全体（通常为数量指标X可能取值的全体组成的集合）称为总体；总体中的每个元素称为个体。我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X的分布的研究，所谓总体的分布也就是数量指标X的分布，因此，X的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征。今后将不区分总体与相应的随机变量，笼统称为总体X。根据总体中所包括个体的总数，将总体分为：有限总体和无限总体。例1：考察一块试验田中小麦穗的重量：X=所有小麦穗重量的全体（无限总体）；个体——每个麦穗重x对应的分布：xNdtex重量xPxFxt0),(~21}{)(22)(22总麦穗数的麦穗数例2：考察一位射手的射击情况：X=此射手反复地无限次射下去所有射击结果全体；每次射击结果都是一个个体（对应于靶上的一点）个体数量化未中射中01x1在总体中的比例p为命中率0在总体中的比例p1为非命中率总体X由无数个0，1构成，其分布为两点分布),1(pBpXPpXP1}0{,}1{2.样本与样本空间为了对总体的分布进行各种研究，就必需对总体进行抽样观察。3抽样——从总体中按照一定的规则抽出一部分个体的行动。一般地，我们都是从总体中抽取一部分个体进行观察，然后根据观察所得数据来推断总体的性质。按照一定规则从总体X中抽取的一组个体),,,(21nXXX称为总体的一个样本，显然，样本为一随机向量。为了能更多更好的得到总体的信息，需要进行多次重复、独立的抽样观察（一般进行n次），若对抽样要求①代表性：每个个体被抽到的机会一样，保证了nXXX,,,21的分布相同，与总体一样。②独立性：nXXX,,,21相互独立。那么，符合“代表性”和“独立性”要求的样本),,,(21nXXX称为简单随机样本。易知，对有限总体而言，有放回的随机样本为简单随机样本，无放回的抽样不能保证nXXX,,,21的独立性；但对无限总体而言，无放回随机抽样也得到简单随机样本，我们本书则主要研究简单随机样本。对每一次观察都得到一组数据（nxxx,,,21），由于抽样是随机的，所以观察值（nxxx,,,21）也是随机的。为此，给出如下定义：定义2:设总体X的分布函数为)(xF，若nXXX,,,21是具有同一分布函数)(xF的相互独立的随机变量，则称（nXXX,,,21）为从总体X中得到的容量为n的简单随机样本，简称样本。把它们的观察值（nxxx,,,21）称为样本值。定义3:把样本(nXXX,,,21)的所有可能取值构成的集合称为样本空间,显然一个样本值(nxxx,,,21)是样本空间的一个点。二、样本的分布：设总体X的分布函数为)(xF，（nXXX,,,21）是X的一个样本，则其联合分布函数为：)x,,x,x(Fn*21=ni1)(ixF。例3：设总体),,(,),1(~21nXXXpBX为其一个简单随机样本，则样本空间}n,,,i;,x)x,,x,x{(in211021，因为1{}(1)xxPXxpp，0,1x所以样本的联合分布列为：11221122{,,,}{}{}{}nnnnPXxXxXxPXxPXxPXxnixppppppixxxxxxnn,,2,11,0)1()1(.)1(1112211§6.2分布函数与概率密度函数的近似解4在概率论中，我们介绍了几种常用的分布函数以及它们的性质，当时我们总假定它们都是先给定的，而在实际中，所遇到的用于描述随机现象的随机变量，事先并不知道其分布函数，甚至连其分布类型也一无所知，那么，怎么样才能确定它的分布函数)(xF呢？一般地，利用样本及样本值，建立一定的概率模型，用由此获得的概率统计信息来对总体X的)(xF进行估计和推断，这就是：一、经验分布函数1.定义：设（nXXX,,,21）是来自总体X的样本，用()Sx表示：xR，12,,,nXXX中不大于x的随机变量的个数，定义经验分布函数为1()()nFxSxxRn。设(nxxx,,,21)是样本的一个观察值，令这n个数值由小到大的顺序排列后为：*1x≤*2x≤*3x≤……≤*nx，对x∈R由定义很容易得到经验分布函数的观察值：*()nFx10nk*n*k*k*xxxxxxx111,,2,1nk通常也称*()nFx是总体X的经验分布函数,在不至于混淆的情况下统一用)(xFn来表示总体X的经验分布函数。显然，)(xFn是单调非降右连续的跳跃函数（阶梯函数），在点*kxx处有间断，在每个间断点的跃度为n1，（k=1，2，3，…，n）且1)(0xFn，)(limxFnx=0，)(limxFnx=1，它满足分布函数的三个性质，所以必是一个分布函数。一般地，随着n的增大，)(xFn越来越接近X的分布函数)(xF，关于这一点，格列汶科（Glivenko）在1953年给了理论上的论证，即：2.定理1(Glivenko-Th)：若总体X的分布函数为)(xF，经验分布函数为)(xFn，则对Rx，有：lim(sup|()()|)01nnxPFxFx[.()()aenFxFx一致]定理表明，)(xFn以概率1一致收敛于)(xF，即：可以用)(xFn来近似)(xF，这也是利用样本来估计和判断总体的基本理论和依据。例4：某厂从一批荧光灯中抽出10个，测其寿命的数据（单位千时）如下：95.5，18.1，13.1，26.5，31.7，33.8，8.7，15.0，48.8，48.35求该批荧光灯寿命的经验分布函数)(xFn（观察值）。解：将数据由小到大排列得：8.7，13.1，15.0，18.1，26.5，31.7，33.8，48.8，49.3，95.5，则经验分布函数为：19.08.07.06.05.04.03.02.01.00)(xFn5.955.953.493.498.488.488.338.337.317.315.265.261.181.180.150.151.131.137.87.8xxxxxxxxxxx二、利用直方图求密度函数的近似解：设（nXXX,,,21）为来自总体X的一个样本，其样本观察值为(nxxx,,,21)，将该组数值nxxx,,,21分成l组，可作分点：laaaa,,,,210（各组距可以不相等），则各组为：(0a,1a],(1a,2a]，……，(1la，la],若样本观察值中每个数值落在各组中的频数分别为1m，2m，3m，…，lm，则频率分别为：nm1，nm2……nml；以各组为底边，以相应组的频率除以组距为高，建立l个小矩形，即得总体X的直方图。由上分析可知：直方图中每一矩形的面积等于相应组的频率设总体X的密度函数为)(xf，则：总体X（真实值）落在第k组(1ka，ka]的概率为：kkaadxxf1)(。由Bernoulli大数定理可知：当n很大时，样本观察值（单个）落在该区间的频率趋近于此概率；即：(1ka，ka]上矩形的面积接近于)(xf在此区间上曲边梯形的面积，当n无限增大时，分组组距越来越小，直方图就越接近总体X的密度函数)(xf的图象。（这与定积分的意义具有同样的道理）。§6.3样本的数字特征由第三章节知：随机变量的数字特征，能够反映随机事件的某些重要的概率特征，从第6一节可知，样本也是一组随机变量（随机向量），为了详细刻划样本观察值中所包含总体X的信息及样本值的分布情况，下面我们研究样本的数字特征。一、样本均值与样本方差（随机变量）定义1，设（nXXX,,,21）是来自总体X的一个样本，称niiXnX11为样本均值。)XnXnX(n)XXXX(n[)XX(nSniniiniiii211221222221121111)]XnX(nnii21211为样本方差。niiXXnSS122)(11为样本标准差。样本均值与样本方差分别刻划了样本的位置特征及样本的分散性特征。二、矩1.总体矩（数值）设总体X的分布函数为)(xF，则称)X(Emkk（假设它存在）为总体X的k阶原点矩；称]))X(EX[(Ekk为总体X的k阶中心矩。把总体的各阶中心矩和原点矩统称为总体矩——表示总体X的数字特征。特别地：1m=)(XE；)(2xD是总体X的期望和方差。仿此，下面给出样本矩的定义：2.样本矩（r.v）定义2：设)X,,X,X(n21是来自总体X的一个样本，则称nikikXnA11，k=1，2，3……；为样本的k阶原点矩（随机变量）nikikXXnB1)(1，k=1，2，3……；为样本值的k阶中心矩（随机变量）。特别地，XA1，但2B与2S却不同，由2S与2B的计算式可知：221SnnB，当n时，2B=2S，所以常利用2B来计算S（标准差）。【注】：()1,2,pkkAmnk，这就是下一章要介绍的矩估计的理论根据。7由上述定义可知：样本均值、样本方差、样本均方差、样本矩都是关于样本的函数，而样本本身又是随机变量。因此，上述关于样本的数字特征也是随机变量。设)x,,x,x(n21为样本)X,,X,X(n21的观测值，则样本矩对应观测值分别为：niixnx11；2s=nii)xx(n1211；nii)xx(nss12211；nikikxna11；nikikxxnb1)(1；k=1，2，3……；在不至于混淆的情况下，这些值也分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本k