第六章样本及抽样分布

基本概念经验分布函数统计量及其分布三个常用分布抽样分布定理典型例题第六章数理统计基础知识它们构成了统计推断的两种基本形式.这两种推断渗透到了数理统计的每个分支.现实世界中存在着形形色色的数据,分析这些数据需要多种多样的方法.因此,数理统计中的方法和支持这些方法的相应理论是相当丰富的.概括起来可以归纳成两大类:参数估计──根据数据,用一些方法对分布的未知参数进行估计.假设检验──根据数据,用一些方法对分布的未知参数进行检验.第六章数理统计基础知识总体:研究对象的某项数量指标的全部可能的观察值某学校男生的身高的全体一个总体，每个男生的身高是一个个体。某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每一个灯泡的寿命是一个个体；个体：每一个可能观察值为个体。容量：总体所包含的个体的个数称为总体的容量有限总体：容量有限的称为有限总体无限总体：容量无限的称为无限总体§5.1基本概念6.1基本概念样本：被抽取的部分个体叫做总体的一个样本总体一般被看作随机变量第六章数理统计基础知识简单随机样本:若n个随机变量相互独立，且具有相同的概率分布，则称是来自总体的一个容量为n的简单随机样本，简称为样本。nXXX,,,21),,,(21nXXX)(xFix容量为n的样本是一个n维随机变量，记为的一次观察值则称为样本的一次观察值。),,2,1(niXi),,,(21nXXX),(2,1nxxxniinxFxxF11*)(),,(niinxfxxf11*)(),,(若为X的一个样本，则的联合分布函数为：nXX,,1nXX,,1若设X的概率密度为f，则的联合概率密度为：nXX,,16.1基本概念§6.2经验分布函数设有总体X的n个独立观察值，按大小顺序可排成nxxx21若，则不大于X的观察值的频率为，那么，函数1kkxxxnk.,,2,1,,1,,0)(1,1nkxxxxxnkxxxFnkkn表示在n次重复试验中，事件的频率。我们称为样本分布函数或经验分布函数。xX)(xFn6.2经验分布函数对于经验分布函数有如下定理：)(xFn即一致收敛与分布函数以概率时，当对一切实数),(1)(xFxFnxn1}0)()(suplim{xFxFPnxn第六章数理统计基础知识)()(xFxFPn或：一.统计量的概念二.常用统计量第六章数理统计基础知识§6.3统计量一.统计量的概念x1,x2,…,xn是相应于样本X1,X2,…,Xn的样本值,则称g(x1,x2,…,xn)是g(X1,X2,…,Xn)的观察值。注：统计量是随机变量。是一统计量。若X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本,g(X1,X2,…,Xn)是X1,X2,…,Xn的函数，不含任何未知参数，则称g(X1,X2,…,Xn)若g中1.6.3统计量设为来自总体的一个样本，nXX,1),(~2NX已知，未知其中2,问下列随机变量中那些是统计量..)(;)(;;2122111nnXXXXnXXXXnnnn思考？第六章数理统计基础知识二.常用统计量样本均值样本方差niiXnX11niiXXnS122)(11它反映了总体均值的信息它反映了总体方差的信息niiXXnSS122)(11样本标准差：6.3统计量样本k阶原点矩样本k阶中心矩nikikXnA11nikikXXnB1)(1k=1,2,…它反映了总体k阶矩的信息它反映了总体k阶中心矩的信息第六章数理统计基础知识它们的观察值分别为：niixnx11][11)(11122122niiniixnxnxxnsniixxns12)(112,1,11kxnanikik2,1,)(11kxxnbnikik样本均值样本方差样本标准差样本k阶矩样本k阶中心矩6.3统计量时，则当存在，记成阶矩的若总体nXEkXkk)(,,2,1,kAkPk说明第六章数理统计基础知识那么2..2,1,2222nnnESESn3..PXn时，当),,,(21nXXX定理设是来自总体X的一个样本1.nXDXE2,2,DXEX记4..,2222PnPSSn时，当证明1.niniiniinXEnXnEXE1111)(1)1()(nnXDnXnDXDniniinii21221211)(1)1()(证明2.6.4抽样分布2121221221212)2()(XnXXXXnXXXXXXXniiiniiniiiniini因为★★2222222121221)1()()(nnnnXEXnDEXDXXnEEXXXEiininiiini2212)(11XXEnESini22121)(1nnXXEnESinin3.与4.的结论由大数定律即可得。所以★三个常用分布抽样分布定理§6.4三个常用分布统计量的分布称为抽样分布。一般情况下，当总体分布已知时，求统计量的分布是很困难的。然而，当总体服从正态分布时，某些统计量的分布比较容易求得。6.4抽样分布X1,X2,…Xn是来自总体N(0,1)的样本,则称统计量222212nXXX服从自由度为n的2分布.（一）2分布记为2～2(n).2分布是由正态分布派生出来的一种分布.1.定义及概率密度6.4抽样分布一、三个常用分布2分布的密度函数为000)2(21),(2122xxexnnxfxnn来定义.其中伽玛函数通过积分0,)(01xdttexxt)(x)()1(xxx!)1(nn)21(第六章数理统计基础知识2分布的密度函数的图形如右图.6.4抽样分布),,(2N(3)设相互独立,都服从正态分布nXXX,,,21则21222~)(1nniiX22121~nnXX,~,~222121nnXX(2)设且X1,X2相互独立，则分布的性质22.第六章数理统计基础知识nDnE2)(,)(22(1)期望和方差)()(222212nXXXEE)()()(22221nXEXEXE)(2iXnE})]([)({2iiXEXDnnn)01(2)()(222212nXXXDD)()()(22221nXDXDXD)(2iXnD})]([)({224iiXEXEn2241212dxexnx13nn26.4抽样分布★证明（1）)}({)10(22nP，称满足条件：对于给定的。分位点下分布的为的点)()(22nn24.下分位点第六章数理统计基础知识nYXt/（二）t分布设X～N(0,1),Y～2(n),且X,Y相互独立,称统计量服从自由度为n的t分布.记为t～t(n).T的密度函数为：212)1()2(]2)1[(),(nnxnnnnxf1.定义及概率密度6.4抽样分布xR，当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形.2221),(xnenxfLimt分布的密度函数关于x=0对称，且当n充分大时，t分布近似N(0,1)分布.但对于较小的n，t分布与N(0,1)分布相差很大.第六章数理统计基础知识)}({)10(nttP，称满足条件：对于给定的。分位点下分布的为的点tnt)()()(1ntnt：由概率密度的对称性知.)(45untn时，当2.下分位点6.4抽样分布)(nt21//nVnUF（三）F分布设U～2(n1),V～2(n2),且U,V相互独立,服从自由度为(n1,n2)的F分布.记为F～F(n1,n2).F1~),(12nnF1.定义).,(~/1),,(~F1221nnFFnnF则若12nUnV称统计量第六章数理统计基础知识性质：(,)Fmn分布的概率密度函数为：122()21,0;(;,)()()220,0.mmnmnmmmxxxmnFxmnnnnx),(/1),(12211nnFnnF结论：)},({)10(21nnFFP，称满足条件：对于给定的。分位点下分布的为的点FnnF),(212.下分位点6.4抽样分布357.080.21)12,9(1)9,12(95.005.0FF例：),(21nnF分别为样本均值与样本方差，则1.);,(~2nNX2.与相互独立;X2S3.。)1(~)1(222nSn),(2N),,,(21nXXX定理1若，是来自正态总体的一个样本，niiXnX11niiXXnS122)(11与6.4抽样分布§6.5抽样分布定理证明由定理4知~(1)/XTtnSn);,(~2nNX所以)1,0(~NnX又)1(~1222nSn),,,(21nXXX的一个样本，则),(2N定理2若是来自正态总体6.4抽样分布★。）（)1(~)(1)1(22ntSnXnSnnXT由于与相互独立，因此与X2SnX221Sn相互独立，从而由t分布的定义有：6.4抽样分布)2(~11)()(1221mntmnSYXT其中niiXnX112121)(11XXnSnii的两个样本，且它们相互独立，则),,,(21nXXX),,,(21mYYY定理3设和),(21N),(22N是分别来自正态总体和★6.4抽样分布miiYmY112122)(11YYmSmii证明由定理条件有),(~2221mnNYX)1,0(~11)()(21NmnYXU所以2)1()1(2221212mnSmSnS6.4抽样分布又因)1(~12222mSm)1(~12212nSn并且它们是相互独立的，故由分布的可加性可知2)2(~1122222122mnSmSnZ从而由独立性条件及t分布的定义有即)2(~22mntmnZUT)2(~11)()(1221mntmnSYXT6.4抽样分布)1,1(~21222221mnFSSF其中和分别是两个样本的样本方差。21S22S证明因为)1(~)1(22121nSn)1(~)1(22222mSm的两个样本，且它们相互独立，则),,,(21nXXX),,,(21mYYY定理4设和),(211N),(222N是分别来自正态总体和★6.4抽样分布由相互独立性及F分布的定义可知：)1,1(~)1()1()1()1(2122222122222121mnFSSmSmnSnF6.4抽样分布例16.2抽样分布★§6.6典型例题1,,nXXX设（）是来自下正态总体的简单随机样，61278919122212111()6321(),,2iiiYXYXXXYYSYYZS，，2Zt证明统计量服从自由度为的分布。证2221212=,,.63DXEYEYDYDY记，易见2121212122222=0=.2=(0,1),/22=2YYEYYDYYYYUNS由于和独立，可见，从而由正态总体样本方差的性质，知服从自由度为的分布.222121212YYYSYSYYS由于与