【信号与系统课件】【陈后金版】【西安交通大学】【梁志虎】【7_系统的时域分析_3】

梁志虎lzh@[e-mail]系统的时域分析系统的时域分析系统的时域分析系统的时域分析线性时不变系统的描述特点线性时不变系统的描述及特点连续时间LTI系统的响应连续时间系统的冲激响应卷积积分及其性质离散时间LTI系统的响应离散时间LTI系统的响应离散时间系统的单位脉冲响应卷积和及其性质冲激响应表示的系统特性线性时不变系统线性时不变系统的描述及特点的描述及特点线性时不变系统线性时不变系统的描述及特点的描述及特点线性时不变系统线性时不变系统的描述的描述连续时间系统用N阶常系数微分方程描述线性时不变系统线性时不变系统的描述的描述连续时间系统用N阶常系数微分方程描述)()(')()(01)1(1)(tyatyatyatynnnai、bj为常数。)()(')()(01)1(1)(tfbtfbtfbtfbmmmmi、j为常数离散时间系统用N阶常系数差分方程描述][][00jkfbikyajmjini00jiai、bj为常数。线性时不变系统线性时不变系统的描述及特点的描述及特点线性时不变系统线性时不变系统的描述及特点的描述及特点线性时不变系统线性时不变系统的特点的特点线性时不变系统线性时不变系统的特点的特点LTI系统除具有线性特性和时不变特性外，还具有:1）微分特性与差分特性：若T{f(t)}=y(t)则dtydtfT)(d})(d{若T{f(t)}y(t)则dtdt}{若T{f[k]}=y[k]则T{f[k]-f[k-1]}=y[k]-y[k-1]{f[]}y[]{f[]f[]}y[]y[]2）积分特性与求和特性：tt若T{f(t)}=y(t)则d)(}d)({yfTttkk若T{f[k]}=y[k]则][]}[{nynfTnn离散时间离散时间LTILTI系统系统的响应的响应离散时间离散时间LTILTI系统系统的响应的响应迭代法求系统响应迭代法求系统响应经典时域法求系统响应经典时域法求系统响应卷积法求系统响应卷积法求系统响应零输入响应求解零输入响应求解零状态响应求解零状态响应求解零状态响应求解零状态响应求解离散时间离散时间LTILTI系统系统的响应的响应离散时间离散时间LTILTI系统系统的响应的响应离散时间LTI系统mn离散时间LTI系统的数学模型为][][00jkfbikyajmjini系统响应求解方法:1.迭代法:2.经典时域分析方法:求解差分方程3卷积法:1.迭代法:3.卷积法:系统完全响应=零输入响应+零状态响应][][][kkk][*][][khkfk求解齐次差分方程得到零输入响应][][][kykykyfx][*][][khkfkyx求解齐次差分方程得到零输入响应利用卷积和可求出零状态响应迭代法一、迭代法][][jkfbikyajmin00jji已知n个初始状态初始状态{y[1],y[2],y[2],····,y[n]}和输入输入，由差分方程迭代出系统的输出。和输入输入，由差分方程迭代出系统的输出。mn][][][01jkfbikyakyjjii[[例例]]一阶线性常系数差分方程y[k]0.5y[k1]=u[k],y[1]=1，用迭代法求解差分方程。y[]代解解将差分方程写成]1[50][][kkk解：解：将差分方程写成]1[5.0][][kykuky代入初始状态，可求得5.115.01]1[5.0]0[]0[yuy75151501]0[50]1[]1[yuy依此类推75.15.15.01]0[5.0]1[]1[yuy875.175.15.01]1[5.0]2[]2[yuy依此类推缺点很难得到闭合形式的解缺点：很难得到闭合形式的解。二经典时域分析方法二、经典时域分析方法差分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解[k]和特解[k]组成yh[k]和特解yp[k]组成:][][][kkk][][][phkykyky齐次解yh[k]的形式由齐次方程的特征根确定特解yp[k]的形式由方程右边激励信号的形式确定二经典时域分析方法二、经典时域分析方法(1)特征根是不等实根rrr齐次解齐次解的形式的形式(1)特征根是不等实根r1,r2,,rnknnkkrCrCrCky2211h][(2)特征根是等实根r1=r2==rn()特征根是成对共轭复根knnkkrkCkrCrCky121h][jjb(3)特征根是成对共轭复根0j2,1ejbarkCkCkykk0201hsincos][y0201h][二经典时域分析方法二、经典时域分析方法常用激励信号对应的常用激励信号对应的特解特解形式形式输入信号特解输入信号特解ak(a不是特征根)kAa()ak(a是特征根)kAkank0111AkAkAkAnnnn011nnnkka)(0111AkAkAkAannnnkkkcossin或kAkAsincoskk00cossin或kAkA0201sincoskakakk00cossin或)sincos(0201kAkAak[例]已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程[k]5[k1]6[k2]f[k]y[k]5y[k1]+6y[k2]=f[k]初始条件y[0]=0，y[1]=1，输入信号f[k]2k[k]求系统的完全响应[k]f[k]=2ku[k]，求系统的完全响应y[k]。解解：(1)求齐次方程y[k]5y[k1]+6y[k2]=0的齐次解yh[k]()y[]y[]y[]yh[]特征方程为0652rr特征根为齐次解[k]3,221rrkkCCk32][齐次解yh[k]kkCCky32][21h[例]已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程[k]5[k1]6[k2]f[k]y[k]5y[k1]+6y[k2]=f[k]初始条件y[0]=0，y[1]=1，输入信号f[k]2k[k]求系统的完全响应[k]解f[k]=2ku[k]，求系统的完全响应y[k]。解：(2)求非齐次方程y[k]5y[k1]+6y[k2]=f[k]的特解yp[k]()y[]y[]y[]f[]yp[]由输入f[k]的形式，设方程的特解为输f[]式设方程特解为0,2][pkAkkyk将特解带入原差分方程即可求得常数A=2。[例]已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程[k]5[k1]6[k2]f[k]y[k]5y[k1]+6y[k2]=f[k]初始条件y[0]=0，y[1]=1，输入信号f[k]2k[k]求系统的完全响应[k]解f[k]=2ku[k]，求系统的完全响应y[k]。解：(3)求方程的全解，即系统的完全响应y[k]0,232][][][121phkkCCkykykykkk解得C1=1，C2=0]0[21CCy1232]1[CC1232]1[21CCy0,232][1kkkykkk0,232][kkky1)若初始条件不变输入信号f[k]=sinku[k]1)若初始条件不变，输入信号f[k]=sin0ku[k]，则系统的完全响应y[k]=？2)若输入信号不变初始条件[0]1[1]1则系2)若输入信号不变，初始条件y[0]=1,y[1]=1,则系统的完全响应y[k]=？经典法不足之处经典法不足之处经典法不足之处经典法不足之处若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。应的物理概念三卷积法三卷积法三、卷积法三、卷积法系统完全响应系统完全响应==零输入响应零输入响应++零状态响应零状态响应1系统的零输入响应是输入信号为零仅由系统的1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。0][0ikyaini数学模型:0i求解方法：根据差分方程的特征根确定零输入响应的形式根据差分方程的特征根确定零输入响应的形式再由初始状态确定待定系数。再由初始状态确定待定系数[例]已知某线性时不变系统的动态方程式为:[k]+3[k1]+2[k2]f[k]y[k]+3y[k1]+2y[k2]=f[k]系统的初始状态为y[1]=0，y[2]=1/2，求系统的零输入响应统的零输入响应yx[k]。解系统的特征方程为2解：系统的特征方程为系统的特征根为0232rr2,121rr特征,21kkxCCky)2()1(][21解得C1=1，C2=211021]1[21CCy解得122141]2[21CCykk0)2(2)1(][kkykkx[例]已知某线性时不变系统的动态方程式为:y[k]+4y[k1]+4y[k2]=f[k]y[k]+4y[k1]+4y[k2]f[k]系统的初始状态为y[1]=0，y[2]=1/2，求系统的零输入响应y[k]统的零输入响应yx[k]。解：系统的特征方程为系统的特征根为（两相等实根）0442rr221rr系统的特征根为（两相等实根）221rrkkxCkCky)2()2(][21解得C4C4022]1[21CCy解得C1=4,C2=422142]2[21CCy0,)2(4)2(4][kkkykkx[例]已知某线性时不变系统的动态方程式为:y[k]05y[k1]+y[k2]05y[k3]=f[k]y[k]0.5y[k1]+y[k2]0.5y[k3]f[k]系统的初始状态为y[1]=2，y[2]=1，y[3]=8求系统的零输入响应y[k]8，求系统的零输入响应yx[k]。解系统的特征方程为0505023解：系统的特征方程为系统的特征根为05.05.023rrrkrr2πj321ej,5.0特征rr3,21ej,5.0kCkCCkykx2πcos2πsin)21(][321解得C1=1，C2=0，C5=522222]1[21CCy14]2[CCy解得C11，C20，C5514]2[31CCy88]3[21CCyπ10,2πcos5)21(][kkkykx三卷积法三卷积法三、卷积法三、卷积法系统完全响应系统完全响应==零输入响应零输入响应++零状态响应零状态响应2系统的零状态响应当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f[k]2.系统的零状态响应求解系统的零状态响应y[k]方法：产生的响应称为系统的零状态响应，用yf[k]表示。求解系统的零状态响应yf[k]方法：1)直接求解初始状态为零的差分方程。2)卷积法：利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。卷积法求解系统零状态响应y[k]的思路卷积法求解系统零状态响应yf[k]的思路1)将任意信号分解为单位脉冲序列的线性组合将任信号分解为单位脉冲序列线性2)求出单位脉冲序列作用在系统上的响应单位脉冲响应——单位脉冲响应3)利用线性时不变系统的特性，即可求出任意利用线性变系特性即求任序列f[k]激励下系统的零状态响应yf[k]。卷积法求解系统零状态响应y[k]推导卷积法求解系统零状态响应yf[k]推导由时不变特性][][khk][][khk由时不变特性由均匀特性][][nkhnk][][][][nkhnfnknf由均匀特性由叠加特性][][][][nkhnfnknf][][]}[][{nkhnfnknfTnn