83高等数学知识点归纳

1第一讲:极限与连续一.数列函数:1.类型:(1)数列:*()nafn;*1()nnafa(2)初等函数:(3)分段函数:*0102()(),()xxfxFxxxfx;*00()(),xxfxFxxxa;*(4)复合(含f)函数:(),()yfuux(5)隐式(方程):(,)0Fxy(6)参式(数一,二):()()xxtyyt(7)变限积分函数:()(,)xaFxfxtdt(8)级数和函数(数一,三):0(),nnnSxaxx2.特征(几何):(1)单调性与有界性(判别);(()fx单调000,()(()())xxxfxfx定号)(2)奇偶性与周期性(应用).3.反函数与直接函数:11()()()yfxxfyyfx二.极限性质:1.类型:*limnna;*lim()xfx(含x);*0lim()xxfx(含0xx)2.无穷小与无穷大(注:无穷量):3.未定型:000,,1,,0,0,04.性质:*有界性,*保号性,*归并性三.常用结论:11nn,1(0)1naa,1()max(,,)nnnnabcabc,00!naan1(0)xx,0lim1xxx,lim0nxxxe,lnlim0nxxx,0limln0nxxx,0,xxex2四.必备公式:1.等价无穷小:当()0ux时,sin()()uxux;tan()()uxux;211cos()()2uxux;()1()uxeux;ln(1())()uxux;(1())1()uxux;arcsin()()uxux;arctan()()uxux2.泰勒公式:(1)2211()2!xexxox;(2)221ln(1)()2xxxox;(3)341sin()3!xxxox;(4)24511cos1()2!4!xxxox;(5)22(1)(1)1()2!xxxox.五.常规方法:前提:(1)准确判断0,,1,0M(其它如:00,0,0,);(2)变量代换(如:1tx)1.抓大弃小(),2.无穷小与有界量乘积(M)(注:1sin1,xx)3.1处理(其它如:000,)4.左右极限(包括x):(1)1(0)xx;(2)()xex;1(0)xex;(3)分段函数:x,[]x,max()fx5.无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注:非零因子)6.洛必达法则(1)先”处理”,后法则(00最后方法);(注意对比:1lnlim1xxxx与0lnlim1xxxx)(2)幂指型处理:()()ln()()vxvxuxuxe(如:1111111(1)xxxxxeeee)(3)含变限积分;(4)不能用与不便用7.泰勒公式(皮亚诺余项):处理和式中的无穷小8.极限函数:()lim(,)nfxFxn(分段函数)3六.非常手段1.收敛准则:(1)()lim()nxafnfx(2)双边夹:*?nnnbac,*,?nnbca(3)单边挤:1()nnafa*21?aa*?naM*'()0?fx2.导数定义(洛必达?):00lim'()xffxx3.积分和:10112lim[()()()]()nnffffxdxnnnn,4.中值定理:lim[()()]lim'()xxfxafxaf5.级数和(数一三):(1)1nna收敛lim0nna,(如2!limnnnnn)(2)121lim()nnnnaaaa,(3){}na与11()nnnaa同敛散七.常见应用:1.无穷小比较(等价,阶):*(),(0)?nfxkxx(1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)nnffffa()()!!nnnaafxxxxnn(2)00()xxnftdtktdt2.渐近线(含斜):(1)()lim,lim[()]xxfxabfxaxx()fxaxb(2)()fxaxb,(10x)3.连续性:(1)间断点判别(个数);(2)分段函数连续性(附:极限函数,'()fx连续性)八.[,]ab上连续函数性质1.连通性:([,])[,]fabmM(注:01,“平均”值:0()(1)()()fafbfx)2.介值定理:(附:达布定理)(1)零点存在定理:()()0fafb0()0fx(根的个数);(2)()0(())'0xafxfxdx.4第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一.基本概念:1.差商与导数:'()fx0()()limxfxxfxx;0'()fx000()()limxxfxfxxx(1)0()(0)'(0)limxfxffx(注:0()lim(xfxAfx连续)(0)0,'(0)ffA)(2)左右导:''00(),()fxfx;(3)可导与连续;(在0x处,x连续不可导;xx可导)2.微分与导数:()()'()()'()ffxxfxfxxoxdffxdx(1)可微可导;(2)比较,fdf与0的大小比较(图示);二.求导准备:1.基本初等函数求导公式;(注:(())'fx)2.法则:(1)四则运算;(2)复合法则;(3)反函数1'dxdyy三.各类求导(方法步骤):1.定义导:(1)'()fa与'()xafx;(2)分段函数左右导;(3)0()()limhfxhfxhh(注:00()(),xxFxfxxxa,求:0'(),'()fxfx及'()fx的连续性)2.初等导(公式加法则):(1)[()]ufgx,求:0'()ux(图形题);(2)()()xaFxftdt,求:'()Fx(注:((,))',((,))',(())'xbbaaafxtdtfxtdtftdt)(3)0102(),()xxfxyxxfx,求''00(),()fxfx及0'()fx(待定系数)3.隐式((,)0fxy)导:22,dydydxdx(1)存在定理;(2)微分法(一阶微分的形式不变性).(3)对数求导法.4.参式导(数一,二):()()xxtyyt,求:22,dydydxdx55.高阶导()()nfx公式:()()axnnaxeae;()11!()()nnnbnabxabx;()(sin)sin()2nnaxaaxn;()(cos)cos()2nnaxaaxn()()1(1)2(2)()'nnnnnnuvuvCuvCuv注:()(0)nf与泰勒展式:2012()nnfxaaxaxax()(0)!nnfan四.各类应用:1.斜率与切线(法线);(区别:()yfx上点0M和过点0M的切线)2.物理:(相对)变化率速度;3.曲率(数一二):23()(1'())fxfx(曲率半径,曲率中心,曲率圆)4.边际与弹性(数三):(附:需求,收益,成本,利润)五.单调性与极值(必求导)1.判别(驻点0'()0fx):(1)'()0()fxfx;'()0()fxfx;(2)分段函数的单调性(3)'()0fx零点唯一;()0fx驻点唯一(必为极值,最值).2.极值点:(1)表格('()fx变号);(由0002'()'()''()lim0,lim0,lim00xxxxxxfxfxfxxxxx的特点)(2)二阶导(0'()0fx)注(1)f与',ff的匹配('f图形中包含的信息);(2)实例:由'()()()()fxxfxgx确定点“0xx”的特点.(3)闭域上最值(应用例:与定积分几何应用相结合,求最优)3.不等式证明(()0fx)(1)区别:*单变量与双变量?*[,]xab与[,),(,)xax?(2)类型:*'0,()0ffa;*'0,()0ffb6*0,(),()0ffafb;*00()0,'()0,()0fxfxfx(3)注意:单调性端点值极值凹凸性.(如:max()()fxMfxM)4.函数的零点个数:单调介值六.凹凸与拐点(必求导!):1.y表格;(0()0fx)2.应用:(1)泰勒估计;(2)'f单调;(3)凹凸.七.罗尔定理与辅助函数:(注:最值点必为驻点)1.结论:()()'()()0FbFaFf2.辅助函数构造实例:(1)()f()()xaFxftdt(2)'()()()'()0()()()fgfgFxfxgx(3)()'()()()'()0()()fxfgfgFxgx(4)'()()()0ff()()()xdxFxefx;3.()()0()nffx有1n个零点(1)()nfx有2个零点4.特例:证明()()nfa的常规方法:令()()()nFxfxPx有1n个零点(()nPx待定)5.注:含12,时,分家!(柯西定理)6.附(达布定理):()fx在[,]ab可导,['(),'()]cfafb,[,]ab,使:'()fc八.拉格朗日中值定理1.结论:()()'()()fbfafba;(()(),'()0ab)2.估计:'()ffx九.泰勒公式(连接,',fff之间的桥梁)1.结论:2300000011()()'()()()()'()()2!3!fxfxfxxxfxxxfxx;2.应用:在已知()fa或()fb值时进行积分估计十.积分中值定理(附:广义):[注:有定积分(不含变限)条件时使用]7第三讲:一元积分学一.基本概念:1.原函数()Fx:(1)'()()Fxfx;(2)()()fxdxdFx;(3)()()fxdxFxc注(1)()()xaFxftdt(连续不一定可导);(2)()()()()xxaaxtftdtftdtfx(()fx连续)2.不定积分性质:(1)(())'()fxdxfx;(())()dfxdxfxdx(2)'()()fxdxfxc;()()dfxfxc二.不定积分常规方法1.熟悉基本积分公式2.基本方法:拆(线性性)1212(()())()()kfxkgxdxkfxdxkgxdx3.凑微法(基础):要求巧,简,活(221sincosxx)如:211(),,ln,2dxdxdaxbxdxdxdxax2dxdxx221,(1ln)(ln)1xdxdxxdxdxxx4.变量代换:(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换):1sin,,,1xxtaxbttetx(2)作用与引伸(化简):21xxt5.分部积分(巧用):(1)含需求导的被积函数(如ln,arctan,()xaxxftdt);(2)“反对幂三指”:,ln,naxnxedxxxdx(3)特别:()xfxdx(*已知()fx的原函数为()Fx;*已知'()()fxFx)6.特例:(1)11sincossincosaxbxdxaxbx;(2)(),()sinkxpxedxpxaxdx快速法;(3)()()nvxdxux8三.定积分:1.概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件:有界,充分条件:连续)(2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)*220(0)8aaxxdxaa;*()02baabxdx(3)附:()()bafxdxMba,()()()bbaafxgxd