直角三角形的性质与判定

1.2直角三角形第一章三角形的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时直角三角形的性质与判定1.复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定.2.学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题.（重点、难点）学习目标直角三角形的两个锐角互余.问题1直角三角形的定义是什么？问题2三角形内角和的性质是什么？有一个是直角的三角形叫直角三角形.三角形内角和等于180°.这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质.导入新课复习引入问题3前面我们探究过直角三角形的哪些性质？在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.讲授新课直角三角形的性质与判定一问题：直角三角形的两锐角互余，为什么？问题引入根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”.如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，又∠A+∠B=90°，所以∠C=90°.于是△ABC是直角三角形.勾股定理与逆定理二知识回顾勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.acb勾弦股证明欣赏22111222211222211112222212222111222222()()(2).sababaabbababsababcabcssabababcabc，，，bacba1．美国第二十任总统的证法：cacabcbcab∵(a+b)2=c2+，a2+2ab+b2=c2+2ab，∴a2+b2=c2.大正方形的面积可以表示为；也可以表示为；(a+b)2c2+2．利用正方形面积拼图证明：142ab142abc∵c2=+(b-a)2，c2=2ab+b2-2ab+a2，c2=a2+b2，∴a2+b2=c2.大正方形的面积可以表示为；也可以表示为．c2+(b-a)23．赵爽弦图14ab214ab2cacbbbb如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．勾股定理反过来，怎么叙述呢？这个命题是真命题吗？为什么？ABC已知：如图,在△ABC中,AC2+BC2=AB2.求证:△ABC是直角三角形．分析：构造一个直角三角形与△ABC全等，你能自己写出证明过程吗？例1证明此命题：证明：作Rt△DEF,使∠E=90°,DE=AC,FE=BC，则DE2+EF2=DF2(勾股定理)．∵AC2+BC2=AB2(已知),DE=AC,FE=BC(作图),∴AB2=DF2，∴AB=DF，∴△ABC≌△DFE（SSS）．∴∠C=∠E=90°,∴△ABC是直角三角形．DFE┏ABC归纳总结定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．互逆命题与互逆定理三议一议定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．下面两个定理的条件和结论有什么样的关系？一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．观察上面三组命题,你发现了什么?1.两直线平行,内错角相等；3.如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧；4.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎；2.内错角相等,两直线平行；5.一个三角形中相等的边所对的角相等；6.一个三角形中相等的角所对的边相等；说出下列命题的条件和结论：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置．命题“两直线平行，内错角相等”的条件和结论为：条件为：两直线平行；结论为：内错角相等．因此它的逆命题为：内错角相等，两直线平行.归纳总结例2指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题.(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.条件：一个三角形是直角三角形.结论：它的两个锐角互余.逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形.典例精析(2)等边三角形的每个角都等于60°.条件：一个三角形是等边三角形;结论：它的每个角都等于60°.逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，那么这个三角形是等边三角形.（3）全等三角形的对应角相等.条件：两个三角形是全等三角形.结论：它们的对应角相等.逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等.每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题．知识归纳例3举例说明下列命题的逆命题是假命题.（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等.逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.例如10能被5整除，但它的个位数是0.（1）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除.逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.例如60°=60°，但这两个角不是直角.如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题.注意2：不是所有的定理都有逆定理.知识归纳当堂练习1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A.4cmB.5cmC.6cmD.10cmABCDE【解析】Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=100，∴AB=10cm.BE=AB=5cm.12B2.在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明.(1)同旁内角互补，两直线平行.逆命题：两直线平行，同旁内角互补.真(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形.逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相等.真直角三角形角的性质课堂小结边的性质勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形定理1：直角三角形的两个锐角互余；定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形.互逆命题与互逆定理互逆命题互逆定理一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做互逆定理第一个命题的条件是第二个命题的结论；第一个命题的结论是第二个命题的条件.概念概念见《学练优》本课时练习课后作业更多精彩内容，微信扫描二维码获取扫描二维码获取更多资源