2015年考研数学一真题及答案详细解析-2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及答案

12015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)设函数()fx在(),−∞+∞内连续，其中二阶导数()′′fx的图形如图所示，则曲线()=yfx的拐点的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设211()23=+−xxyexe是二阶常系数非齐次线性微分方程′′′++=xyaybyce的一个特解，则()(A)3,2,1=−==−abc(B)3,2,1===−abc(C)3,2,1=−==abc(D)3,2,1===abc(3)若级数1∞=∑nna条件收敛，则3=x与3=x依次为幂级数1(1)∞=−∑nnnnax的()(A)收敛点，收敛点(B)收敛点，发散点(C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点(4)设D是第一象限由曲线21xy=，41xy=与直线yx=，3yx=围成的平面区域，函数(),fxy在D上连续，则(),Dfxydxdy=∫∫()2(A)()13sin2142sin2cos,sindfrrrdrπθπθθθθ∫∫(B)()1sin23142sin2cos,sindfrrrdrπθπθθθθ∫∫(C)()13sin2142sin2cos,sindfrrdrπθπθθθθ∫∫(D)()1sin23142sin2cos,sindfrrdrπθπθθθθ∫∫(5)设矩阵21111214Aaa=，21bdd=，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Axb=有无穷多解的充分必要条件为()(A),ad∉Ω∉Ω(B),ad∉Ω∈Ω(C),ad∈Ω∉Ω(D),ad∈Ω∈Ω(6)设二次型()123,,fxxx在正交变换为=xPy下的标准形为2221232+−yyy，其中()123,,=Peee，若()132,,=−Qeee，则()123,,fxxx在正交变换=xQy下的标准形为()(A)2221232−+yyy(B)2221232+−yyy(C)2221232−−yyy(D)2221232++yyy(7)若A,B为任意两个随机事件，则()(A)()()()≤PABPAPB(B)()()()≥PABPAPB(C)()()()2≤PAPBPAB(D)()()()2≥PAPBPAB3(8)设随机变量,XY不相关，且2,1,3===EXEYDX，则()2+−=EXXY()(A)3−(B)3(C)5−(D)5二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)20lncoslim_________.xxx→=(10)22sin()d________.1cosxxxxππ−+=+∫(11)若函数(,)=zzxy由方程cos2+++=xexyzxx确定，则(0,1)d________.z=(12)设Ω是由平面1++=xyz与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.xyzdxdydzΩ++=∫∫∫(13)n阶行列式20021202___________.00220012−=−(14)设二维随机变量(,)xy服从正态分布(1,0;1,1,0)N，则{0}________.PXYY−=三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设函数()ln(1)sin=+++fxxaxbxx，3()=gxkx，若()fx与()gx在0→x是等价无穷小，求,,abk的值.4(16)(本题满分10分)设函数()fx在定义域I上的导数大于零，若对任意的0xI∈，由线()=yfx在点()()00,xfx处的切线与直线0xx=及x轴所围成区域的面积恒为4，且()02f=，求()fx的表达式.(17)(本题满分10分)已知函数(),=++fxyxyxy，曲线C：223++=xyxy，求(),fxy在曲线C上的最大方向导数.(18)(本题满分10分)（I）设函数()()ux,vx可导，利用导数定义证明uxvxuxvxuxvx′′′=+[()()]()()()()（II）设函数()()()12nux,ux,,ux可导，nfxuxuxux=12()()()()，写出()fx的求导公式.(19)(本题满分10分)已知曲线L的方程为222,,zxyzx=−−=起点为()0,2,0A，终点为()0,2,0−B，计算曲线积分()()2222dd()dLIyzxzxyyxyz=++−+++∫.(20)(本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R的一个基，113=2+2kβαα，22=2βα，()313=++1kβαα.（I）证明向量组1β2β3β为3R的一个基;5（II）当k为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.(21)(本题满分11分)设矩阵02313312a−=−−−A相似于矩阵12000031b−B=.(I)求,ab的值；（II）求可逆矩阵P，使1−PAP为对角矩阵..(22)(本题满分11分)设随机变量X的概率密度为()2ln2,0,0,0.xxfxx−=≤对X进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y为观测次数.(I)求Y的概率分布;(II)求EY(23)(本题满分11分)设总体X的概率密度为：xfxθθθ≤≤=−1,1,(,)10,其他.其中θ为未知参数，12nx,x,,x为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量.(II)求θ的最大似然估计量.62015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)设函数()fx在(),−∞+∞内连续，其中二阶导数()′′fx的图形如图所示，则曲线()=yfx的拐点的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】（C）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由()fx′′的图形可得，曲线()yfx=存在两个拐点.故选（C）.(2)设211()23=+−xxyexe是二阶常系数非齐次线性微分方程′′′++=xyaybyce的一个特解，则()(A)3,2,1=−==−abc(B)3,2,1===−abc(C)3,2,1=−==abc(D)3,2,1===abc【答案】（A）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212xe、13xe−为二阶常系数齐次微分方程0yayby′′′++=的解，所以2,1为特征方程20rarb++=的根，从而(12)3a=−+=−，122b=×=，从而原方程变为32xyyyce′′′−+=，再将特解xyxe=代入得1c=−.故选（A）7(3)若级数1∞=∑nna条件收敛，则3=x与3=x依次为幂级数1(1)∞=−∑nnnnax的()(A)收敛点，收敛点(B)收敛点，发散点(C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点【答案】（B）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.【解析】因为1nna∞=∑条件收敛，即2x=为幂级数1(1)nnnax∞=−∑的条件收敛点，所以1(1)nnnax∞=−∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnnnax∞=−∑的收敛区间还是(0,2).因而3x=与3x=依次为幂级数1(1)nnnnax∞=−∑的收敛点，发散点.故选（B）.(4)设D是第一象限由曲线21xy=，41xy=与直线yx=，3yx=围成的平面区域，函数(),fxy在D上连续，则(),Dfxydxdy=∫∫()(A)()13sin2142sin2cos,sindfrrrdrπθπθθθθ∫∫(B)()1sin23142sin2cos,sindfrrrdrπθπθθθθ∫∫(C)()13sin2142sin2cos,sindfrrdrπθπθθθθ∫∫(D)()1sin23142sin2cos,sindfrrdrπθπθθθθ∫∫【答案】（B）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D的图形，xyo8所以(,)Dfxydxdy=∫∫1sin23142sin2(cos,sin)dfrrrdrπθπθθθθ∫∫，故选（B）(5)设矩阵21111214Aaa=，21bdd=，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Axb=有无穷多解的充分必要条件为()(A),ad∉Ω∉Ω(B),ad∉Ω∈Ω(C),ad∈Ω∉Ω(D),ad∈Ω∈Ω【答案】D【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)Abadadadaadd=→−−−−−−，由()(,)3rArAb=，故1a=或2a=，同时1d=或2d=。故选（D）(6)设二次型()123,,fxxx在正交变换为=xPy下的标准形为2221232+−yyy，其中()123,,=Peee，若()132,,=−Qeee，则()123,,fxxx在正交变换=xQy下的标准形为()(A)2221232−+yyy(B)2221232+−yyy(C)2221232−−yyy(D)2221232++yyy【答案】(A)【解析】由xPy=，故222123()2TTTfxAxyPAPyyyy===+−.且9200010001TPAP=−.100001010QPPC==−200()010001TTTQAQCPAPC==−所以222123()2TTTfxAxyQAQyyyy===−+。选（A）(7)若A,B为任意两个随机事件，则()(A)()()()≤PABPAPB(B)()()()≥PABPAPB(C)()()()2≤PAPBPAB(D)()()()2≥PAPBPAB【答案】(C)【解析】由于,ABAABB⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()PABPA≤且()()PABPB≤，从而()()()2PAPBPAB+≤，选(C).(8)设随机变量,XY不相关，且2,1,3===EXEYDX，则()2+−=EXXY()(A)3−(B)3(C)5−(D)5【答案】(D)【解析】22[(2)](2)()()2()EXXYEXXYXEXEXYEX+−=+−=+−2()()()()2()DXEXEXEYEX=++⋅−23221225=++×−×=，选(D).二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)20lncoslim_________.xxx→=10【答案】12−【分析】此题考查00型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：2000sinln(cos)tan1coslimlimlim.222xxxxxxxxxx→→→−−===−方法二：2222200001ln(cos)ln(1cos1)cos112limlimlimlim.2xxxxxxxxxxxx→→→→−+−−====−(10)22sin()d________.1cosxxxxππ−+=+∫【答案】2π4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】22202sin2.1cos4xxdxxdxxππππ−+==+∫∫(11)若函数(,)=zzxy由方