1第二节排列与组合【考纲下载】1.理解排列组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列组合知识解决简单的实际问题.1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数的概念名称定义排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数组合数组合的个数3.排列数与组合数公式(1)排列数公式①Amn=n(n-1)…(n-m+1)=n!n-m!;②Ann=n!.(2)组合数公式Cmn=AmnAmm=nn-n-n-m+m!=n!m!n-m!.4.组合数的性质(1)Cmn=Cn-mn_;(2)Cmn+Cm-1n=Cmn+1.1.排列与排列数有什么区别?提示:排列与排列数是两个不同的概念,排列是一个具体的排法,不是数,而排列数是所有排列的个数,是一个正整数.2.如何区分一个问题是排列问题还是组合问题?提示:看选出的元素与顺序是否有关,若与顺序有关,则是排列问题,若与顺序无关,2则是组合问题.1.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案的种数是()A.12B.10C.9D.8解析:选A先安排1名教师和2名学生到甲地,再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地,共有C12C24=12种安排方案.2.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A.8B.24C.48D.120解析:选C先排个位共有C12种方法,再排其余3位.则有A34种排法,根据分步乘法计数原理,所求的四位偶数的个数为C12A34=48.3.将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法的种数是()A.12B.18C.24D.36解析:选A先排第一列,共有A33种方法,再排第二列第一行共有C12种方法,第二列第二行,第三列第二行各有1种方法.根据分步乘法计数原理,共有A33C12×1×1=12种排列方法.4.将9个相同的小球放入3个不同的盒子,要求每个盒子中至少有1个小球,且每个盒子中的小球个数都不同,则共有________种不同放法.解析:对这3个盒子中所放的小球的个数情况进行分类计数:第1类,这3个盒子中所放的小球的个数分别是1,2,6,此类有A33=6种放法;第2类,这3个盒子中所放的小球的个数分别是1,3,5,此类有A33=6种放法;第3类,这3个盒子中所放的小球的个数分别是2,3,4,此类有A33=6种放法.因此共有6+6+6=18种满足题意的放法.答案:185.如图M,N,P,Q为海上四个小岛,现要建造三座桥,将这四个小岛连接起来,则共有________种不同的建桥方法.解析:M,N,P,Q两两之间共有6条线段(桥抽象为线段),任取3条有C36=20种方法,其中不合题意的有4种方法.则共有20-4=16种不同的建桥方法.答案:163易误警示(十二)排列与组合中的易错问题[典例]将6名教师分到3所中学任教,一所1名,一所2名,一所3名,则有________种不同的分法.[解题指导]将6名教师分到3所中学,相当于将6名教师分成3组,相当于3个不同元素.[解析]将6名教师分组,分三步完成:第1步,在6名教师中任取1名作为一组,有C16种取法;第2步,在余下的5名教师中任取2名作为一组,有C25种取法;第3步,余下的3名教师作为一组,有C33种取法.根据分步乘法计数原理,共有C16C25C33=60种取法.再将这3组教师分配到3所中学,有A33=6种分法,故共有60×6=360种不同的分法.[答案]360[名师点评]1.如果审题不仔细,极易认为有C16C25C33=60种分法.因为本题中并没有明确指出哪一所学校1名、2名、3名.2.解决排列与组合应用题应重点注意以下几点:(1)首先要分清楚是排列问题还是组合问题,不能将两者混淆.(2)在解决问题时,一定要注意方法的明确性,不能造成重复计数.(3)分类讨论时,要注意分类标准的确定,应做到不重不漏.在小语种提前招生考试中,某学校获得5个推荐名额,其中俄语2名,日语2名,西班牙语1名,并且日语和俄语都要求必须有男生参加.学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象,则不同的推荐方法的种数为()A.20B.22C.24D.36解析:选C3个男生每个语种各推荐1个,共有A33A22种推荐方法;将3个男生分为两组,其中一组2个人,则共有C23A22A22种推荐方法.所以共有A33A22+C23A22A22=24种不同的推荐方法.