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1第七节数系的扩充与复数的引入【考纲下载】1．理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．2．了解复数的代数表示法和几何意义，会进行复数代数形式的四则运算．3．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.(2)复数的分类复数z＝a＋bia，b∈R实数b＝，虚数b≠纯虚数a＝0，b≠，非纯虚数a≠0，b(3)复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，a、b∈R)．2．复数的几何意义(1)复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．(2)实轴、虚轴在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．(3)复数的几何表示复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)一一对应平面向量OZ.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bc－dc＋dc－d＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．(2)复数的加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．(3)复数的乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.21．复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0吗？提示：不是，a＝0是a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要条件，只有当a＝0，且b≠0时，a＋bi才为纯虚数．2．z1，z2是复数，z1－z20，那么z1z2，这个命题是真命题吗？提示：假命题．例如：z1＝1＋i，z2＝－2＋i，z1－z2＝30，但z1z2无意义，因为虚数无大小概念．3．若z1，z2∈R，z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0，此命题对z1，z2∈C还成立吗？提示：不一定成立．比如z1＝1，z2＝i满足z21＋z22＝0.但z1≠0，z2≠0.1．(2013·湖南高考)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B∵z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴复数z在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)，位于第二象限．2．复数5i1－2i＝()A．2－iB．1－2iC．－2＋iD．－1＋2i解析：选C5i1－2i＝＋－＋＝5i＋10i21－2＝5i－105＝－2＋i.3．(2013·新课标全国卷Ⅱ)21＋i＝()A．22B．2C.2D．1解析：选C∵21＋i＝－＋－＝－2＝1－i，∴21＋i＝|1－i|＝12＋－2＝2.4．已知a＋2ii＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.解析：根据已知可得a＋2ii＝b＋i⇒2－ai＝b＋i⇔b＝2，－a＝1，即b＝2，a＝－1.从而a＋b＝1.答案：15．设a是实数，且a1＋i＋1＋i2是实数，则a＝________.解析：a1＋i＋1＋i2＝a－ai2＋1＋i2＝a＋＋－a2为实数，故1－a＝0，即a＝1.答案：13前沿热点(十五)与复数有关的新定义问题1．复数的定义及运算的考查多以客观题的方式呈现，也常从与实数的一些性质类比的角度命制新定义问题．2．解决此类问题的关键是抓住新定义或新运算的特征，对所给的新信息进行分析，并将所给信息与所学相关知识结合．[典例](2014·南昌模拟)在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，a2，b1，b2∈R)，z1z2当且仅当“a1a2”或“a1＝a2且b1b2”．按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：①若z1z2，则|z1||z2|；②若z1z2，z2z3，则z1z3；③若z1z2，则对于任意z∈C，z1＋zz2＋z；④对于复数z0，若z1z2，则zz1zz2.其中所有真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4[解题指导]新定义复数的“序”：对于任意两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，a2，b1，b2∈R)，z1z2当且仅当“a1a2”或“a1＝a2且b1＞b2”．[解析]对于复数z1＝2＋i，z2＝1－3i，显然满足z1z2，但|z1|＝5，|z2|＝10，不满足|z1||z2|，故①不正确；设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，由z1z2，z2z3可得“a1a3”或“a1＝a3且b1b3”，故②正确；设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z＝a＋bi，由z1z2可得“a1a2”或“a1＝a2且b1b2”．显然有“a1＋aa2＋a”或“a1＋a＝a2＋a且b1＋bb2＋b”，从而z1＋zz2＋z，故③正确；对于复数z1＝2＋i，z2＝1－3i显然满足z1z2，令z＝1＋i，则zz1＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，zz2＝(1＋i)(1－3i)＝4－2i，显然不满足zz1zz2，故④错误．综上②③正确，故选B.[答案]B[名师点评]解决本题的关键有以下两点：(1)根据所给的新定义把所给的复数大小比较问题转化为复数的实部、虚部之间的大小比较问题来处理．(2)能善于利用举反例的方法解决问题．定义一种运算如下：2211yxyx＝x1y2－x2y1，则复数z＝3＋i－13－ii(i是虚数单位)的共轭复数是________．解析：由定义可知，z＝3＋i－13－ii＝(3＋i)·i－(－1)·(3－i)＝3i＋i2＋3－i＝(3－1)i＋3－1，∴z－＝(3－1)＋(1－3)i.答案：(3－1)＋(1－3)i