统计量及抽样分布

4-1统计学STATISTICS(第三版)2008年8月第六章统计量及其抽样分布6.1统计量6.1.1统计量的概念6.1.2常用统计量6.1.3次序统计量6.1.4充分统计量4-3统计学STATISTICS(第三版)2008年8月参数和统计量1.参数(parameter)描述总体特征的概括性数字度量，是研究者想要了解的总体的某种特征值一个总体的参数：总体均值()、标准差()、总体比例()；两个总体参数：(1-2)、(1-2)、(1/2)总体参数通常用希腊字母表示2.统计量(statistic)用来描述样本特征的概括性数字度量，它是根据样本数据计算出来的一些量，是样本的函数一个总体参数推断时的统计量：样本均值(x)、样本标准差(s)、样本比例(p)等两个总体参数推断时的统计量：(x1-x2)、(p1-p2)、(s1/s2)样本统计量通常用小写英文字母来表示4-4统计学STATISTICS(第三版)2008年8月常用统计量样本均值样本方差样本标准差4-5统计学STATISTICS(第三版)2008年8月常用统计量样本变异系数K阶距K阶中心距次序统计量哪些是次序统计量：中位数、分位数、四分位数、极差和均值充分统计量统计计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为充分统计量。6.2关于分布的几个概念6.2.1抽样分布6.2.2渐近分布6.2.3随机模拟获得的近似分布4-9统计学STATISTICS(第三版)2008年8月1.样本统计量的概率分布，是一种理论分布在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布2.随机变量是样本统计量样本均值,样本比例，样本方差等3.结果来自容量相同的所有可能样本4.提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据抽样分布(samplingdistribution)抽样分布的形成过程(samplingdistribution)总体计算样本统计量如：样本均值、比例、方差样本6-11统计学STATISTICS(第二版)渐近分布当n较大时，就用极限分布作为抽样分布的一种近似，这种极限分布称为渐近分布。6-12经济、管理类基础课程统计学2分布4-13统计学STATISTICS(第三版)2008年8月1.由阿贝(Abbe)于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来2.设，则3.令，则y服从自由度为1的2分布，即4.对于n个正态随机变量y1，y2，yn，则随机变量称为具有n个自由度的2分布，记为2-分布(2-distribution)),(~2NX)1,0(~NXz2zY)1(~2Yniiy1222~4-14统计学STATISTICS(第三版)2008年8月不同自由度的2-分布2n=1n=4n=10n=204-15统计学STATISTICS(第三版)2008年8月1.分布的变量值始终为正2.分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称3.期望为：E(2)=n，方差为：D(2)=2n(n为自由度)4.可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量，U~2(n1)，V~2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的2分布2-分布(性质和特点)4-16统计学STATISTICS(第三版)2008年8月2-分布(用Excel计算2分布的概率)1.利用Excel提供的【CHIDIST】统计函数，计算2分布右单尾的概率值语法：CHIDIST(x,degrees_freedom)，其中df为自由度，x,是随机变量的取值2.利用【CHIINV】函数则可以计算给定右尾概率和自由度时相应的反函数值语法：CHIINV(probability,degrees_freedom)用Excel计算2分布的概率4-17统计学STATISTICS(第三版)2008年8月6-18经济、管理类基础课程统计学t分布4-19统计学STATISTICS(第三版)2008年8月t-分布(t-distribution)1.提出者是WilliamGosset，也被称为学生分布(student’st)2.t分布是类似正态分布的一种对称分布，通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布xt分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)z4-20统计学STATISTICS(第三版)2008年8月t分布临界值—t分布的上α分位点tα(n)αtα(n))}({nttPn45,tα(n)≈zαZα为标准正态分布上α分位点t1-α=-tαα4-21统计学STATISTICS(第三版)2008年8月结论1:设总体X服从正态分布N（μ，σ2）,σ2未知.(x1,x2,…xn)为来自该总体的样本,则统计量)1(~/ntnsXT两个重要结论4-22统计学STATISTICS(第三版)2008年8月结论2:设总体X服从正态分布N（μ1，σ2）总体Y服从正态分布N（μ2，σ2）(σ2未知),X与Y独立，且X1，X2，…，Xn1和Y1，Y2，…，Yn2分别是来自总体X和Y的样本，则统计量两个重要结论)2(~)11(2)1()1()()(21212122221121nntnnnnsnsnYXT4-23统计学STATISTICS(第三版)2008年8月4-24统计学STATISTICS(第三版)2008年8月t-分布(用Excel计算t分布的概率和临界值)1.利用Excel中的【TDIST】统计函数，可以计算给定值和自由度时分布的概率值语法：TDIST(x,degrees_freedom,tails)2.利用【TINV】函数则可以计算给定概率和自由度时的相应语法：TINV(probability,degrees_freedom)用Excel计算t分布的临界值4-25统计学STATISTICS(第三版)2008年8月F分布4-26统计学STATISTICS(第三版)2008年8月1.为纪念统计学家费希尔(R.A.Fisher)以其姓氏的第一个字母来命名则2.设若U为服从自由度为n1的2分布，即U~2(n1)，V为服从自由度为n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相互独立，则称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为F-分布(Fdistribution)21nVnUF),(~21nnFF4-27统计学STATISTICS(第三版)2008年8月不同自由度的F分布F(1,10)(5,10)(10,10)4-28统计学STATISTICS(第三版)2008年8月F分布的上α分位点Fα(n1,n2)αFα(n1,n2)),(1),(12211nnFnnF)},({21nnFFP4-29统计学STATISTICS(第三版)2008年8月～F（n1―1，n2―1）其中s12和s22分别是总体X和Y的样本方差。F分布在假设检验、区间估计、方差分析、回归分析及试验设计等领域有重要的应用21222221SS设总体X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），X与Y独立，且X1，X2，…，Xnl与Y1，Y2，…，Yn2分别是来自总体X和Y的样本，则统计量F=一个重要结论4-30统计学STATISTICS(第三版)2008年8月F-分布(用Excel计算F分布的概率和临街值)1.利用Excel提供的【FDIST】统计函数，计算分布右单尾的概率值语法：FDIST(x,degrees_freedom1,degrees_freedom2)2.利用【FINV】函数则可以计算给定单尾概率和自由度时的相应语法：FINV(probability,degrees_freedom1,degrees_freedom2)用Excel计算F分布的概率4-31统计学STATISTICS(第三版)2008年8月6-32经济、管理类基础课程统计学样本均值的分布与中心极限定理4-33统计学STATISTICS(第三版)2008年8月1.在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布2.一种理论概率分布3.推断总体均值的理论基础样本均值的分布4-34统计学STATISTICS(第三版)2008年8月样本均值的分布(例题分析)【例】设一个总体，含有4个元素(个体)，即总体单位数N=4。4个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4。总体的均值、方差及分布如下总体分布14230.1.2.3均值和方差5.21NxNii25.1)(122NxNii4-35统计学STATISTICS(第三版)2008年8月样本均值的分布(例题分析)现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共16个）4-36统计学STATISTICS(第三版)2008年8月样本均值的分布(例题分析)计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）x样本均值的抽样分布1.000.10.20.3P(x)1.53.04.03.52.02.54-37统计学STATISTICS(第三版)2008年8月样本均值的分布与总体分布的比较(例题分析)=2.5σ2=1.25总体分布样本均值分布5.2x625.02x00.050.10.150.20.250.31234x的取值P(x)比较及结论：1.样本均值的均值（数学期望）等于总体均值2.样本均值的方差等于总体方差的1/n4-38统计学STATISTICS(第三版)2008年8月样本均值的分布与中心极限定理=50=10X总体分布n=4抽样分布xn=165x50x5.2x当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x的期望值为μ，方差为σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)4-39统计学STATISTICS(第三版)2008年8月中心极限定理(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布nx从均值为，方差为2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布一个任意分布的总体xx4-40统计学STATISTICS(第三版)2008年8月中心极限定理(centrallimittheorem)x的分布趋于正态分布的过程4-41统计学STATISTICS(第三版)2008年8月抽样分布与总体分布的关系总体分布正态分布非正态分布大样本小样本样本均值正态分布样本均值正态分布样本均值非正态分布4-42统计学STATISTICS(第三版)2008年8月样本均值的分布（实例）解：根据中心极限定理，不论总体的分布是什么形状，在假定总体分布不是很偏的情形下，当从总体中随机选取n=36的样本时，样本均值x的分布近似服从均值x==10、标准差的正态分布，即Ｘ~N(10，0.12)【例6.4】设从一个均值=10、标准差=0.6的总体中随机选取容量为n=36的样本。假定该总体不是很偏的，要求:(1)计算样本均值x小于9.9近似概率。(2)计算样本均值x超过9.9近似概率。(3)计算样本均值x在总体均值=10附近0.1范