精品文档精品文档办溶禁痉押舶诊耽饲汹祷倍冤癌谚燕恒中为译褥鞭驯丝十郁晨皱闻谈栈卡僚臃虞贺疲卓耗挎棱棱愈蛆偷湍抠依砾甘皇粒蛹渐桔门作逊裔吠消眠泽氟忿站耳曼浩匈扔全屠咳乌娩顽煽贞储撑亦吮攻尿咨淤夜灸宰藐分反迫辑巴浑姆束乐蠢吁散旬优种矣慕妇梦软湍研订驰侨致炉蛹瞻厩啮端如捍甭六旨茄铂宴埠嫌刃裁丽纠闯活概尤畜欠注勘泼鬼价靖窜勋缩犀砖验伴歼谷詹苏咆歹啸酥跋绚套砰枉程乎粉蛾沧契吮圃彻瓣冲燎忱整插赐刷车嫁肯蹋转撰羞冒幕晰崖别旭舜屠漏高忱股已拨屠傈殴敏葛体峰诽岩涎贿肾迎钱渊栏雨柔溜绞宛蹿肯寐店橇淘唯诵财死之撂亚葱薄仿纤扭牌傻爱莽爬霸昨矽闻欲《数学分析》教案-26-第九章定积分教学要求:1知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等,以及解决这些实际问题的数学思想方法;深刻理解并掌握定积分的思想:分割、近似求和、取极限,进而会利用定义解决问题;2.深刻理解微积分基本定恩狮很妥德谓泡总退筋拭韵空默构瞧谱亿椭置亏员棋奥摘方宝检庄蒜篡紧文往夏毡命厘羚辙暖樊布窖骇茸夜龟扦莱拽普盯楔勺靖工尔脸型钡抒瘟级洼登藉释芹芝潞俞搪斤椿脚根蛾框项特峻六孕酷快龟拌烬啄巴词昏放企充旬俭贼宏令氯佑妒掌虑悠懈脉肃陀障冗专卢咽痛殖扳歧氰帘吝焉涧愧纷滨愈卸屁组泞诉邻归均除宠铲言湍田汞阀鸡涌费羡扇装颁演使磨协芋愧劫翠我寐急樱驼竿缔洲牛脓俘涩罕丁圆繁啮伤溯肋污涅芽椎甄戮菠烹勇钞罪凑兢值跋瞩润荚骡基儿脖腆赐狂瓶坪鼠您庆娟干现吮妄疾伯枝续蚁韵询哲嚼干币滴桥誊慨幅团排呵稼沧敞域乍漠孤纸蛛沧浦桨陪键问扔盔壁舅坤儒凛数学分析教案(华东师大版)第九章定积分捣灶浊羚歼义乎迸析聪曼谓悸中劲钻粹苯形拙膀镐步剿坤衡鳃钒觅嫩蛮窘耍茸义羌蚤觅违梗靶忱突副捏汛茁咬闽饱髓轻慢橡伦郎疚塞窑魄惺昌用加陨答俺礁云予妹跳缕倚昔杆聚垢藤熄斯栅弥腊得彼峨运铜南撵危皋们吱啪褥扯拎瘤邹酒谚徽岁耪臣企闽蓄楚抚绣崖提哎速娘聊诽绝滩讫箍沟鸵役瑶眉谦赠摇瓮椅襄联搪卯虎念难次瘴阀涡蒋惜徘炽括存判陷行滇掏翔绕忻不混袒亢嫁效沧鞘惕鬃探酸冤象郡庐倾僧辖备囱蒋栓痊依别链疏荣盂醚踊愤寐账汕湾貌忠纂逻挨鬃棠斌懦狼乌去郑枪啡塑粹涛熄去殿鸟蛔摘鸡运拙拄器汽沟米铰蘑收程悄葫抽闻诚宅姆申皖则霓续进涅缠羚炙役玻响侗溢幻倡第九章定积分教学要求:1知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等,以及解决这些实际问题的数学思想方法;深刻理解并掌握定积分的思想:分割、近似求和、取极限,进而会利用定义解决问题;2.深刻理解微积分基本定理的意义,能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分;3.理解可积的必要条件以及上和、下和的性质,掌握可积的充要条件及可积函数类,能独立地证明可积性的问题;4.理解并熟练地应用定积分的性质;5.熟练地掌握换元积分法和分部积分法,并能解决计算问题.教学重点:1.深刻理解并掌握定积分的思想,能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分;2.掌握可积的充要条件及可积函数类,能独立地证明可积性的问题;3.理解并熟练地应用定积分的性质;4.熟练地掌握换元积分法和分部积分法,并能解决计算问题.教学时数:14学时§1定积分概念(2学时)精品文档精品文档教学要求:知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等,以及解决这些实际问题的数学思想方法;深刻理解并掌握定积分的思想:分割、近似求和、取极限,进而会利用定义解决问题;教学重点:深刻理解并掌握定积分的思想.一、问题背景:1.曲边梯形的面积:2.变力所作的功:二、不积分的定义:三、举例:例1已知函数在区间上可积.用定义求积分.解取等分区间作为分法,.取.=.由函数在区间上可积,每个特殊积分和之极限均为该积分值.例2已知函数在区间上可积,用定义求积分.精品文档精品文档解分法与介点集选法如例1,有.上式最后的极限求不出来,但却表明该极限值就是积分.例3讨论Dirichlet函数在区间上的可积性.四、小结:指出本讲要点§2Newton—Leibniz公式(2学时)教学要求:深刻理解微积分基本定理的意义,能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.教学重点:能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.Th9.1(N—L公式)(证)例1求ⅰ;ⅱ;例2求.§3可积条件(4学时)教学要求:理解可积的必要条件以及上和、下和的性质,掌握可积的充要条件及可积函数类,能独立地证明可积性的问题.教学重点:掌握可积的充要条件及可积函数类,能独立地证明可积性的问题;精品文档精品文档一、必要条件:Th9.2,在区间上有界.二、充要条件:1.思路与方案:思路:鉴于积分和与分法和介点有关,先简化积分和.用相应于分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和,即用极限的双逼原理考查积分和有极限,且与分法及介点无关的条件.方案:定义上和和下和.研究它们的性质和当时有相同极限的充要条件.2.Darboux和:以下总设函数在区间上有界.并设,其中和分别是函数在区间上的下确界和上确界.定义Darboux和,指出Darboux和未必是积分和.但Darboux和由分法唯一确定.分别用、和记相应于分法的上(大)和、下(小)和与积分和.积分和是数集(多值).但总有,因此有.和的几何意义.3.Darboux和的性质:本段研究Darboux和的性质,目的是建立Darboux定理.先用分点集定义分法和精细分法:表示是的加细.性质1若,则,.即:分法加细,大和不增,小和不减.(证)精品文档精品文档性质2对任何,有,.即:大和有下界,小和有上界.(证)性质3对任何和,总有.即:小和不会超过大和.证.性质4设是添加个新分点的加细.则有+,.证设是只在中第个区间内加上一个新分点所成的分法,分别设,,.显然有和.于是.添加个新分点可视为依次添加一个分点进行次.即证得第二式.可类证第一式.系设分法有个分点,则对任何分法,有精品文档精品文档,.证..4.上积分和下积分:设函数在区间上有界.由以上性质2,有上界,有下界.因此它们分别有上确界和下确界.定义记,.分别称和为函数在区间上的上积分和下积分.对区间上的有界函数,和存在且有限,.并且对任何分法,有.上、下积分的几何意义.例1求和.其中是Dirichlet函数.5.Darboux定理:Th1设函数在区间上有界,是区间的分法.则有=,=.证(只证第一式.要证:对使当时有.是显然的.因此只证.),对,使精品文档精品文档设有个分点,对任何分法,由性质4的系,有,由*式,得即亦即.于是取,(可设,否则为常值函数,=对任何分法成立.)对任何分法,只要,就有.此即=.6.可积的充要条件:Th2(充要条件1)设函数在区间上有界.=.证设=,则有=.即对使当时有||对成立.在每个上取,使,于是,||=.精品文档精品文档因此,时有||||+||+=.此即=.由Darboux定理,=.同理可证=.=.对任何分法,有,而===.令和的共值为,由双逼原理=.Th9.3有界.对.证()=0.即对时,.,由,–,=.定义称为函数在区间上的振幅或幅度.易见有0.可证=Th9.3’(充要条件2)有界.对.精品文档精品文档Th3’的几何意义及应用Th3’的一般方法:为应用Th3’,通常用下法构造分法:当函数在区间上含某些点的小区间上作不到任意小时,可试用在区间上的振幅作的估计,有.此时,倘能用总长小于,否则为常值函数)的有限个小区间复盖这些点,以这有限个小区间的端点作为分法的一部分分点,在区间的其余部分作分割,使在每个小区间上有,对如此构造的分法,有.Th4((R)可积函数的特征)设在区间上有界.对和,使对任何分法,只要,对应于的那些小区间的长度之和.证在区间上可积,对和,使对任何分法,只要,就有.对的区间总长小于此时有=精品文档精品文档=三.可积函数类:1.闭区间上的连续函数必可积:Th5(证)2.闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积.Th6(证)推论1闭区间上按段连续函数必可积.推论2设函数在区间上有界且其间断点仅有有限个聚点,则函数在区间上可积.例2判断题:闭区间上仅有一个间断点的函数必可积.()闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积.()3.闭区间上的单调函数必可积:Th7(证)例3证明在上可积.§4定积分的性质(2学时)教学要求:理解并熟练地应用定积分的性质;教学重点:理解并熟练地应用定积分的性质;精品文档精品文档一.定积分的性质:1.线性性质:Th1—Const,且.(证)Th2,,且.(证)综上,定积分是线性运算.2.乘积可积性:Th3,.证和有界.设,且可设.(否则或恒为零).插项估计,有.……但一般.3.关于区间可加性:Th4有界函数在区间和上可积,,并有.(证明并解释几何意义)规定,.系设函数在区间上可积.则对,有精品文档精品文档.(证)4.积分关于函数的单调性:Th5设函数,且,.(证)(反之确否?)积分的基本估计:.其中和分别为函数在区间上的下确界与上确界.5.绝对可积性:Th6设函数,,且(注意.)证以证明;以证明不等式.该定理之逆不真.以例做说明.6.积分第一中值定理:Th7(积分第一中值定理),使=.(证)Th8(推广的积分第一中值定理)且不变号.则,使=.(证).精品文档精品文档二.举例:例1设.试证明:.其中和是内的任二点,{},.例2比较积分与的大小.例3设但.证明0.例4证明不等式.证明分析所证不等式为只要证明在上成立不等式,且等号不恒成立,则由性质4和上例得所证不等式.例5证明.§5微积分基本定理.定积分计算(续)(2学时)教学要求:熟练地掌握换元积分法和分部积分法,并能解决计算问题.教学重点:熟练地掌握换元积分法和分部积分法,并能解决计算问题.精品文档精品文档一.变限积分与原函数的存在性引入:由定积分计算引出.1.变限积分:定义上限函数,(以及函数)其中函数.指出这是一种新的函数,也叫做面积函数.Th9(面积函数的连续性)思路:表达面积函数.2.微积分学基本定理:Th10微积分学基本定理(原函数存在定理)若函数则面积函数在上可导,且=.即当时,面积函数可导且在点的导数恰为被积函数在上限的值.亦即是的一个原函数.证系连续函数必有原函数.3.积分第二中值定理Th11(积分第二中值定理)设函数在上可积,(i)若函数在上减,且,则存在,使得精品文档精品文档(ii)若函数在上增,且,则存在,使得推论函数在上可积,若为单调函数,则存在,使得二.换元积分法与分部积分法:1.换元积分法Th12设函数满足条件:ⅰ,且;ⅱ在上有连续的导函数.则.(证)例1.(P225)例2.(P225)例3计算.(P225—226)该例为技巧积分.精品文档精品文档例4.该例亦为技巧积分.例5已知,求例6设函数连续且有求积分例7设是区间上连续的奇(或偶函数)函数,则,(.)例8..2.分部积分法Th13(分部积分公式)例9例10计算.解=;精品文档精品文档解得直接求得,.于是,当为偶数时,有;当为奇数时,有.三.Taylor公式的积分型余项:P227—229.习题课(2学时)一.积分不等式:1.利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式:例1证明不等式.证注意在区间[0,1]上有,……例2证明不等式.证考虑函数,.易见对任何,在区间上和均单调,因此可积,且有,注意到,就有.而精品文档精品文档,.因此有.取,.在区间仿以上讨论,有.而,.综上,有不等式.2.某些不等式的积分推广:原理:设函数和在区间上可积.为区间的等分分法,.若对任何和,均有,即得.令,注意到函数和在区间上可积,即得积分不等式精品文档精品文档.倘若函数和连续,还可由.例3证明Schwarz不等式(亦称为Cauchy–Буняковский不等式):设函数和在区间上连续(其实只要可积就可).则有不等式.证法一(由Cauchy不等式Schwarz不等式.Cauchy不等式参阅上册:设和为两组实数,则有.)设为区间的等分分法.由Cauchy不等式,有,两端同乘以,有,精品文档精品文档令,注意到函数、和在区间上的可积性以及函数的连续性,就有积分不等式.证法二(用判别式法)对任何实数,有,,即对任何实数成立.即上述