数学分析(华东师大版)上第九章9-1

返回后页前页§1定积分的概念在很多数学和物理问题中，经常需要求一类特殊和式的极限:这类特殊极限问题导出了定积分的概念.返回01lim(),Tniiifx返回后页前页(,)|[,],0().Axyxabyfx三个典型问题(),[,],yfxxab1.设求曲边梯形A的面积S(A),其中yxOxfy()SAab返回后页前页2.已知质点运动的速度为求从时刻(),[,].vttab3.已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为,)(x,],[bax求线状物体的质量m.显然,()()();fxcSAcba当为常值函数时，0();svba为匀速运动时,0()vtv当当质量为,x均匀分布时，即为常数时).(abm这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变”的情况下，a到时刻b,质点运动的路程s.返回后页前页可以用简单的乘法进行计算.而现在遇到的问题以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题中心思想：是“非常值”、“不均匀”、“有变化”的情形，如何来解决这些问题呢？合理地归为一类特殊和式的极限.把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替返回后页前页代，虽然为此会产生误差，但当分割越来越细的一分为二时候，矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面积.yxOxfy()SAab1x返回后页前页一分为四yxOxfyab1x2x3x()SA返回后页前页一分为八yxOxfyab81x1x3x()SA返回后页前页一分为n可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形的面积.yxOxfyab1xix1ix1nxi()SA返回后页前页过程呢？这可以分三步进行.1.分割：把曲边梯形A分成n个小曲边梯形,,,,21nAAAa1x2x1nxb即在上找到个分点121{,,,},nxxx[,]ab1n121,naxxxb如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的返回后页前页0,nxaxb为方便起见，记，010,,,Δ,,Δ.nnTxxxT用或=来记这个分割11[,],Δ,1,2,,iiiiiixxxxxin，11[,],[,]()iiiiixxxxfx在上把近似看作常数()()Δ,iiiiifASfx.此时的面积约为所以11()()Δ.nniiiiiSASfx2.近似:iA把小曲边梯形近似看作矩形,即任取1()Δ.niiifx上述和式称为积分和或黎曼和返回后页前页3.逼近：不管分割多么细，小曲边梯形终究不是S总有差别.当分割越来越细时，和式1()Δniiifx问题是：(1)如何刻画分割越来越细？1(2)()Δ?niiifxS如何刻画越来越逼近于就会越来越小.S与的差距下面依次讨论这两个问题.1()Δniiifx与曲边梯形的面积矩形，因此黎曼和返回后页前页001(1):,nTaxxxb对于一般的不能来表示分割T越来越细,因为可能某些n用maxΔ1,2,,.iTxin1(2)()Δ,niiifxS要刻画能无限逼近需对任意1[,]iixx区间要保证每个区间的长度不趋于0.1[,]0,iixxT的长度趋于需引细度入分的:割(模)0T则当时,就能保证分割越来越细.返回后页前页1maxΔ,[,],iiiiTxxx时对任意都有1()Δ.niiifxS－总结以上分析，下面给出定积分定义.对于另外两个实际问题,也可类似地归结为黎曼和0,给定的能够找到0,使得当的极限.返回后页前页定义1[,]R.fabJ设是定义在上的函数，001:,nTaxxxb00,若，对任意分割[,]fab则称在上可积，并称J为f在[a,b]上的1,,1,2,,,iiixxin及任意01()dlim()Δ.nbaTiJfxxfxii定积分,记作maxiTx当时,必有1(),niiifxJ返回后页前页,ab分变量,分别为积分下限和上限.f其中称为被积函数,x为积[,]ab为积分区间,,()fx由定义曲边为的曲边梯形的面积为()d.baSfxx()vt通过类似分析,速度质点运动的路程为()d;basvtt()x密度为线状物体的质量为()d.bamxx返回后页前页01lim()ΔniiTiJfx表达式注1nT不仅与和有列极限，也不是函数极限.注2[,]ab并非每个函数在上都可积.在近似过程中,我们把小曲边梯形近似看作矩形时,显然要求12{,,,}n关,还与有关,因此定积分既不是数关于定积分定义，应注意以下几点：f(x)在每个小区间[xi–1,xi]上变化不大,这相当于要求f(x)有某种程度上的连续性.返回后页前页[a,b]上的一致连续性,可证f(x)在[a,b]上可积.下面举例来加深理解用定义求定积分的方法.122010dlimΔniiTiSxxx2()[01]fxx在，上连续，故解120d.xx求例1存在.为方便起见,令以后将知道f(x)在[a,b]上连续时,利用f(x)在返回后页前页,,2,1,11210:nnnnnTn11maxΔ0,niinTxnn＝,,,2,1,,11ninininii取则此时黎曼和的极限化为nniSnin1121数列的极限.返回后页前页nniSnin11lim12ninin12311lim.316121lim3nnnnn于是注这里利用了连续函数的可积性.因为可积,所1.iin以可取特殊的分割(等分)和特殊的介点