数学分析(华东师大版)上第九章9-4

返回后页前页§4定积分的性质一、定积分的性质本节将讨论定积分的性质,包括定积分的线性性质、关于积分区间的可加性、积分不等式与积分中值定理,这些性质为定积分研究和计算提供了新的工具.二、积分中值定理返回返回后页前页[,]()d()d.bbaaabkfxxkfxx在上也可积，且证()d.baJfxx记[,],fab由在上可积故一、定积分的性质10,0,[,],iiiTxx当时,对一切1()Δ.1niiifxJk从而性质1k为常数,则kf若f在[a,b]上可积，返回后页前页11()Δ()ΔnniiiiiikfxkJkfxJ因此[,],kfab在可积.d)(d)(babaxxfkxxkf且性质2,[,],fgab若在上可积[,]fgab则在上可积,且(()())d()d()d.bbbaaafxgxxfxxgxx证12()d,()d.bbaaJfxxJgxx记于是0,10,[,],1,2,,,iiiTxxin当时，.1kk返回后页前页11()Δ,2niiifxJ21()Δ.2niiigxJ从而121[()()]Δ()niiiifgxJJ1211()Δ()ΔnniiiiiifxJgxJ.22因此，f±g在[a,b]上可积,且返回后页前页性质3,[,][,]fgabfgab若在上可积，则在上证,[,][,]fgabab因在上可积，故在上都有界,0,[,],(),().MxabfxMgxM即0,,Δ;2fiiTTxM存在分割使又存在分Δ.2giiTTxM割，使(()())d()d()d.bbbaaafxgxxfxxgxx.也可积返回后页前页TTT令(TTT表示把与的所有分割点合并而成的新分割),则sup()()()(),Δfgiifxgxfxgxxxsup()()()gxfxfx()()(),Δifxgxgxxx.gifiMM于是TigiTifiTifgixMxMxTigiTifixMxM返回后页前页.22MMMM[,][,]faccb在与上都可积.此时且有()d()d()dbcbaacfxxfxxfxx0,[,][,],accbTT与上分割与使得因此fg在[a,b]上可积.性质4f在[a,b]上可积的充要条件是:),,(bac证(充分性)若f在[a,c]与[c,b]上可积,则返回后页前页.2,2TiiTiixx,[,],TTTab令它是的一个分割.TiiTiiTiixxx(必要性)[,],0,,fabT已知在上可积则因此,f在[a,b]上可积.Δ.iiTx使在T上加入分点c得到新的分割.T由§3习题第1题,知道返回后页前页ΔΔ.iiiiTTxx[,][,],Taccb分割在和上的部分分别构成对ΔΔ,ΔΔ.iiiiiiiiTTxxxx,[,]cTacT为其中一个分点则在的部分构成[,][,][,]accbTcb对的分割,在的部分构成对的因此，f在[a,c]与[c,b]上都可积.若f在[a,b]上可积,由必要性证明,若分割T使点[,][,],accbTT和的分割,记为和则返回后页前页()Δ()Δ()Δ.,iiiiiiTTTfxfxfx分割且0,0,0,TTT令则即得()d()d()d.bcbaacfxxfxxfxx()d()d()d.bcbaacfxxfxxfxx性质5[,],()d0.bafabfxx若在上非负、可积则证()d0.baJfxx若0,0,,JT对ab若规定时注()d()d,baabfxxfxxab时,,,abc则对的任何大小顺序恒有()d0,bafxx返回后页前页因此,0)(1JJxfniii()0,Δ0.iifx这与矛盾推论,[,],()(),fgabfxgxx若在上可积且证()()()0,[,],Fxgxfxxab设则()Δ.iiTfxJJ],,[1iiixx,d)(d)(d)(0bababaxxfxxgxxF()d()d.bbaafxxgxx[,],ab则返回后页前页若f在[a,b]上可积,则|f|在[a,b]上也性质6()d()d.bbaafxxfxx证[,],0,fab因为在上可积,T使得.()()()(),fiiTxfxfxfxfx由1sup{()(),[,]}fiiifxfxxxxx1sup{()(),[,]}.fiiifxfxxxxx()d()d.bbaafxxgxx即可积,且返回后页前页ΔΔ,[,]ffiiiiTxxfab故即在上可积.()()(),fxfxfx且由于得到()d()d()d,bbbaaafxxfxxfxx因此证得()d()d.bbaafxxfxx注1()(),()(),fxgxfxgx由但一般不能推得()d()d.bbaafxxgxx()()[,]fxgxab但若和在上连续，则可得到严格不等式()d()d.bbaafxxgxx返回后页前页例1()()[,],()(),fxgxabfxgx设和在上连续000[,],[,],()(),xabxabfxgx且存在使则()d()d.bbaafxxgxx证00()()0,()()0,gxfxgxfx且不妨设00(,)[,],xxxab当时001()()[()()].2gxfxgxfx由连续函数的局部保号性质,0,0(,).xab由此推得返回后页前页[()()]dbagxfxx000[()()]d[()()]dxxaxgxfxxgxfxx0[()()]dbxgxfxx00[()()]dxxgxfxx00()()22gxfx()d()d.bbaafxxgxx00[()()]0,gxfx即返回后页前页()d()d.bbaafxxgxx此结论,由本章总练习题10证明.,[,]fgab由在上可注3()(),[,],fxgxxab若积,可得注2,fg例1中条件与的连续性可减弱为:[,],()(),[,],fgabfxgxxab和在上可积且000[,],()(),fgxabfxgx存在和的连续点使()d()d.bbaafxxgxx则返回后页前页二、积分中值定理定理9.7(积分第一中值定理)[,],[,],fabab若在上连续则存在使()d()().bafxxfba证由于f在[a,b]上连续，因此存在最大值M和()d()dbbaambamxfxx(),[,],mfxMxab因此最小值m.由于d(),baMxMba返回后页前页1()d.bamfxxMba1()()d.baffxxba1(,),()()d,baxabfxfxxba注1(,)ab还可以在内取到,事实上若由连续函数的介值性定理，[,],ab使则由连续函数的介值定理,必恒有即返回后页前页()()d,(,).bafxfttxab或恒有()()d,(,),bafxfttxab111()d()ddbbbaaafxxfttxbababa1()d,;bafxxba矛盾因此11()d()d,.bbaafxxfxxbaba或矛盾返回后页前页注2积分第一中值定理的几何意义如下图所示:xyOab()f返回后页前页()[,]yfxab图中在上的曲边梯形的面积,等于1()()dbaffxxba定理9.8(推广的积分第一中值定理）,[,],()[,]fgabgxab若在上连续且在上不变号,[,],()()d()()d.bbaaabfxgxxfgxx则使[,],()abf以为底为高的矩形面积.而()[,]fxab可理解为在上所有函数值的平均值,这是有限个数的算术平均值的推广.返回后页前页证()0,[,].,()gxxabmMfx不妨设若分别是()()()(),[,].mgxfxgxMgxxab0()d()()d()d0.bbbaaamgxxfxgxxMgxx[,],ab此时可任取使得()()d0()()d.bbaafxgxxfgxx(),gx则因非负、连续必定使得()d0,bagxx若[,]ab在上的下确界与上确界,则()0,[,],gxxab返回后页前页()()d.()dbabafxgxxmMgxx()()d(),()dbabafxgxxfgxx()()d()()d.bbaafxgxxfgxx即()d0,bagxx若则[,],ab由连续函数的介值性定理,存在使得返回后页前页复习思考题11[,][,]0,abab和使得11(),[,]?fxxab[,],()d0.bafabfxx若在上可积且是否存在1.2.11[0,1],N[,]1fnfnn若在上有界且,在:[0,1]?f上可积.试问在上一定可积吗