数学分析(华东师大版)上第九章9-5

返回后页前页返回后页前页§5微积分学基本定理一、变限积分与原函数的存在性本节将介绍微积分学基本定理,并用以证明连续函数的原函数的存在性.在此基础上又可导出定积分的换元积分法与分部积分法.三、泰勒公式的积分型余项二、换元积分法与分部积分法返回返回后页前页返回后页前页一、变限积分与原函数的存在性[][],[]fa,bxa,bfa,x设在上可积,则在上积分;类似称()()dbxxftt为变下限的定积分.定理9.9(变上限定积分的连续性)[],fa,b若在上可积()()d[,]xaxfttab则在],,[bax证],,[baxx若则.上连续()()d,[,]xaxfttxab称为变上限的定.可积返回后页前页返回后页前页Δ()d()dxxxaafttftt.d)(xxxttf[],fa,b因在上有界,|()|,[,].Mftxab故于是|Δ|()d|Δ|,xxxfttx从而定理9.10（微积分学基本定理)若f在[a,b]上连续,()()d[,]xaxfttab则在上处处可导,且d()()d(),[,].dxaxfttfxxabx由x的任意性,f在[a,b]上连续.Δ0limΔ0.x返回后页前页返回后页前页证[,],Δ0,Δ[,],xabxxxab当且时ΔΔ1()dΔΔxxxfttxx),(xxf01.由于f在x处连续，因此Δ0()lim(Δ)().xxfxxfx注1本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似续函数必存在原函数”这个重要结论.乎不相干的概念之间的内在联系,也证明了“连返回后页前页返回后页前页注2由于f的任意两个原函数只能相差一个常数,()()d.xaFxfttC();xaFaCxb用代入,得再用代入,则得()d()().bafttFbFa定理9.11(积分第二中值定理)设f在[a,b]上可积.(i)若函数g在[a,b]上单调减,且,0)(xg则存[,],ab在使.d)()(d)()(abaxxfagxxgxf所以当f为连续函数时,它的任一原函数F必为返回后页前页返回后页前页(ii)若函数g在[a,b]上单调增,且,0)(xg则存[,],ab在使()()d()()d.bbafxgxxgbfxx证这里只证(i),类似可证(ii).证明分以下五步:(1)对任意分割T：,10bxxxan()()dbaIfxgxx11()()diinxxifxgxx111()[()()]diinxixifxgxgxx.21II111()()diinxixigxfxx(2)|()|,[,],fxLxab故因返回后页前页返回后页前页1111||()[()()]diinxixiIfxgxgxx111|()||()()|diinxixifxgxgxx1Δ.ngiiiLx01,:,ngTaxxxb因可积故使1ΔngiiixL1||.I2111()[()()]niiiiIgxFxFx010()[()()]gxFxFx)]()()[(11nnnxFxFxg(3)()()d,xaFxftt设则返回后页前页返回后页前页11,()0,()()0.niiggxgxgx由对的假设记101()[()()]Fxgxgx.)()()]()()[(1111niniiixgbFxgxgxF)()()]()()[(1121nnnnnxgxFxgxgxF(,)min{()},xabmFx(,)max{()},xabMFx12111[()()]()(),niiniIMgxgxMgxMga则12111[()()]()(),niiniImgxgxmgxmga返回后页前页返回后页前页(4)综合(2),(3),得到12()().mgaIIMga0,()().mgaIMga令便得(5)()0,()()d0,bagaIfxgxx若则此时任取[,],ab满足()()d()()d.baafxgxxgafxx).()(2aMgIamg于是()0,ga若则.)(MagIm()()dxaFxftt由返回后页前页返回后页前页()()d,()aIFfttga[,],ab则存在使()()d()()d()()d.bbaafxgxxgafxxgbfxx推论()[,]()[,]fxabgxab设在上可积,在上单调,使存在],,[ba的连续性,()()d()()d.baafxgxxgafxx即返回后页前页返回后页前页证若g为单调递减函数，()()(),hxgxgb令则h非负、单调减,由定理9.11(i)，[,],ab使()()d()()dbaafxhxxhafxx[()()]()d.agagbfxx因此()()d()()dbbaafxgxxgbfxx[()()]()d,agagbfxx返回后页前页返回后页前页即得()()dbafxgxx()()d()()d()()dbaaagafxxgbfxxgbfxx()()d()()d.bagafxxgbfxx返回后页前页返回后页前页二、换元积分法与分部积分法(),(),(),[,],abatbt则()d(())()d.bafxxfttt(())()d(())()()d.bbaaftttFtFxfxx证()()[,]Fxfxab设是在上的一个原函数,则()[,]t连续,在上连续可微,且定理9.12（定积分换元积分法）()[,]fxab若在上的一个原函数.因此(())(())()Ftftt是返回后页前页返回后页前页注与不定积分不同之处:定积分换元后不一定要例1202d.1xxx求解21222222120020d1d(1)12(1)22(1)1xxxxxx.15（不变元,不变限）元积分法时，引入了新变量，此时须改变积分限.保留原积分变量，因此不必改变积分限;用第二换用原变量代回.一般说来，用第一换元积分法时，返回后页前页返回后页前页例2402d.21xxx求解2121,,dd,22ttxxxttx设则23;01,43.2txtxt时时于是4320121d(3)d221xxttx3311(3)23tt1271[(9)(3)]233.322（变元,变限）返回后页前页返回后页前页例3π350sinsind.xxx求解π350sinsindxxx3π20sin|cos|dxxx33ππ222π02sincosdsin(cos)dxxxxxx33ππ222π02sind(sin)sind(sin)xxxxππ55222π0222sinsin55xx224().555（必须注意偶次根式的非负性）返回后页前页返回后页前页例4120ln(1)d.1xxx求解2dtan,d.1xxttx设则,00xt时当ππ1,00tan1,44txtt时且当时,于是π14200ln(1)dln(1tan)d1xxttxπ40cossinlndcosttttπ40π2cos()4lndcostttπππ444000πln2dlncos()dlncosd.4ttttt返回后页前页返回后页前页π,dd,4utut设则π0,4tu时π4t时π04π04πlncos()dlncos(d)4ttuu40lncosd.uu因此,π14200ln(1)dln2d1xxtxπln2.8定理9.13（定积分分部积分法）若u(x),v(x)为[a,b]上的连续可微函数,则有定0,u于是返回后页前页返回后页前页积分的分部积分公式：()()d()()()()d.bbbaaauxvxxuxvxuxvxx证因为uv是vuvu在[a,b]上的一个原函数,(()())dbauxvxx()().bauxvx移项后则得所以()()d()()dbbaauxvxxuxvxx()()d()()()()d.bbbaaauxvxxuxvxuxvxx返回后页前页返回后页前页例5120arcsind.xx求解2darcsin,,d,dd,1xuxvxuvxx设则1112220002darcsindarcsin1xxxxxxx11222201π1(1)d(1)262xx1220π112xπ31.122返回后页前页返回后页前页例6π20sind.nxx求解π20sindnnJxxππ1222200sincos(1)sincosdnnxxnxxxππ22200(1)sind(1)sindnnnxxnxx.)1()1(2nnJnJn于是21,2.nnnJJnn返回后页前页返回后页前页π200πd,2Jxπ210sind1,Jxx221231π(21)!!π,22222(2)!!2mmmmJmmm212222(2)!!1,21213(21)!!mmmmJmmm1,2,.m其中返回后页前页返回后页前页若u(x),v(x)在[a,b]上有(n+1)阶连续导函数,则(1)()()dbnauxvxx()(1)[()()()()nnuxvxuxvx1(1)(1)()()d.bnnauxvxx三、泰勒公式的积分型余项由此可得以下带积分型余项的泰勒公式.()(1)()()]bnnauxvx返回后页前页返回后页前页()()(),nnfxPxRx0(1)1()()()d.!xnnnxRxftxttn00(),()(),()(),nxUxutxtvtfttx证设在阶连续导数,则()(),nPxfxn为的阶泰勒多项式余项为其中,x与之间则定理9.1400()()1fxxUxn设在的某邻域内有返回后页前页返回后页前页.d))((!1)(0)1(xxnnnttxtfnxR其中注由推广的积分第一中值定理,可得拉格朗日型000!()![()()()nfxnfxfxxx()00()()]!(),!nnnfxxxnRxn00!()]0()dxxxxnftftt0(1)()()dxnnxxtftt()1(1)[()()()()nnnnxtftnxtft返回后页前页返回后页前页由积分第一中值定理,可得0(1)1()()()d!xnnnxRxftxttn(1)01()()(),!nnfxxxn0(1)1:()()()d!xnnnxRxftxttn余项0(1)1()()d!xnnxfxttn(1)101()().(1)!nnfxxn返回后页前页返回后页前页))((!1)(00)1(xxxfnxRnn000[()]()nxxxxxx.)()1))(((!11000)1(nnnxxxxxfn此式称为泰勒公式的柯西型余项.00(),01,xxx则若记返回后页前页返回后页前页复习思考题:1.举例说明“可积”与“存在原函数”之间没有蕴