数学分析(华东师大版)上第十章10-1

返回后页前页§1平面图形的面积本节介绍用定积分计算平面图形在一、直角坐标方程表示的平面图形的二、参数方程表示的平面图形的面积三、极坐标表示的平面图形的面积面积各种表示形式下的面积.返回返回后页前页12(),()[,]fxfxab其中是定义在上的连续函数.12(,)|()(),[,],xAxyfxyfxxab型区域:12(,)|()(),[,],yBxygyxgyycd型区域:用定积分求由直角坐标方程表示的平面图形的面xy积,通常把它化为型和型区域上的积分来计算.12(),()[,]gygycd其中是定义在上的连续函数.平面图形的面积一、直角坐标方程表示的返回后页前页通过上移xA型区域abxyO2()yfx1()yfxAxyOab2()yfxM1()0yfxMA返回后页前页由定积分的几何意义，可知A的面积为例1228.yxxyA求由抛物线和所围图形的面积解21221204,.028xxyxyyxy的解为21()(())d(())dbbaaSAfxMxfxMx21[()()]d.bafxfxx21()[()()]d.dcSBgygyyyB同理,型区域的面积为返回后页前页于是0424132d8323402xxxxxAS.382464316Ax图形既是型区域Ax把看作型区域,则24xy2yx82(4,2)xyOAy又是型区域.212(),(),8xfxfxx返回后页前页212(),()8,Aygyygyy把看作为型区域，则33222022()8d8033ySAyyyy于是.38388328例222.yxxyA求由和围成的图形的面积解22(1,1)(4,2).yxxy和的交点为和图形A如下图.返回后页前页1,01(),2,14xxfxxx.40,2xxxf,Ax若把看作型区域则24xy2(4,2)xyO2xy(1,1)A返回后页前页421()(2)dSAxxx113210044()()d.33SAxxxx112,,fAAA由于分段定义分为二图形和1241439()()().3322SASASA4232121432.3232xxx则返回后页前页.29123122132yyy显然,由于g1(y),g2(y)不是分段定义的函数,比较Ay若把看作为型区域，则212()(12),()2(12).gyyygyyy221()[(2)]dSAyyy容易计算.返回后页前页二、参数方程表示的平面图形的面积设曲线C由参数方程(),[,]()xxttyyt表示,(),().ytxt其中连续连续可微(),(),()[,]xaxbxt若在上单调增,则,Cxaxbx由曲线及直线和轴所围图形的面积为()d()()d.baSAyxytxtt返回后页前页(),(),()[,]xaxbxt若在上单调减时，()d()()dbaSAyxytxtt()d.SAytxtt因此,不论x(t)递增或递减,()()d.ytxtt若上述曲线C是封闭的，即()(),()(),xxyy返回后页前页则由C所围的平面图形A的面积同样是()d.SAytxtt()d.SAxtytt或返回后页前页22220(1cos)d3.atta解20()(1cos)[(sin)]dSAatattt所围图形的面积.aa2xyO2aA与x轴例3(sin),[0,2](1cos)xatttyat求由摆线返回后页前页三、极坐标表示的平面图形的面积2,,nAn把扇形分割成个小扇形xOArr由曲线C.和两条射线=与=围成xOi0n1ii1i设曲线C的极坐标方程为(),[,].rrA图形01,nT作分割：射线1,ii返回后页前页从而2211111Δ()Δ.22nnniiiiiiiimSAM由于2220011111limΔlimΔ()d,222nniiiiTTiimMr2211Δ()Δ,22iiiiimSAM则设1inf()|[,],iiimr1sup()|[,],iiiMr1,2,,.in12,,,.nAAA返回后页前页因此例4(1cos).ra求心脏线所围平面图形的面积解2π201()[(1cos)]d2SAa23π.2a21()()d.2SArπ220(1cos)daOxya2a(1cos)ra返回后页前页例522cos2.ra求双纽线所围平面图形的面积由图形的对称性,π2401()4cos2d2SAa解20,r因为所以的取值ππ3π5π[,][,].4444范围是与π2240sin2.aaa/2aOyx返回后页前页解ππ2224π0411()sindcosd22SAππ42π0411cos211cos2dd.2222ππ42π041sin21sin24242例6sin,cosrr求由.A所围图形的面积1π11π1π1.44244284注也可利用对称性.OxyA