著名不等式公式

Gothedistance三角形内角的嵌入不等式三角形内角的嵌入不等式，在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。该不等式指出，若A、B、C是一个三角形的三个内角，则对任意实数x、y、z，有：算术-几何平均值不等式在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为n个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成立当且仅当。算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。例子在n=4的情况，设:，那么.Gothedistance可见。历史上的证明历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。n=2的情况很早就为人所知，但对于一般的n，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。柯西的证明1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：命题Pn：对任意的n个正实数，1.当n=2时，P2显然成立。2.假设Pn成立，那么P2n成立。证明：对于2n个正实数，3.假设Pn成立，那么Pn−1成立。证明：对于n-1个正实数，设，，那么由于Pn成立，。但是，，因此上式正好变成综合以上三点，就可以得到结论：对任意的自然数，命题Pn都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然Gothedistance数k，命题都成立。因此对任意的，可以先找k使得，再结合第三条就可以得到命题Pn成立了。归纳法的证明使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（GeorgeChrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：由对称性不妨设xn+1是中最大的，由于，设，则，并且有。根据二项式定理，于是完成了从n到n+1的证明。此外还有更简洁的归纳法证明[3]：在n的情况下有不等式和成立，于是：所以，从而有。基于琴生不等式的证明注意到几何平均数实际上等于，因此算术-几何平均不等式等价于：。Gothedistance由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。此外还有基于排序不等式、伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。推广算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。加权算术-几何平均不等式不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设和为正实数，并且，那么：。加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。矩阵形式算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式：对于系数都是正实数的矩阵设，，那么有：Gothedistance也就是说：对k个纵列取算术平均数，它们的几何平均大于等于对n个横行取的n个几何平均数的算术平均。极限形式也称为积分形式：对任意在区间[0,1]上可积的正值函数f，都有这实际上是在算术-几何平均值不等式取成后，将两边的黎曼和中的n趋于无穷大后得到的形式。伯努利不等式数学中的伯努利不等式是说：对任意整数，和任意实数，；如果是偶数，则不等式对任意实数x成立。可以看到在n=0,1，或x=0时等号成立，而对任意正整数和任意实数，，有严格不等式：。伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。[编辑]证明和推广伯努利不等式可以用数学归纳法证明：当n=0,1，不等式明显成立。假设不等式对正整数n，实数时成立，那么Gothedistance。下面是推广到实数幂的版本：如果x−1，那么：若或，有；若，有。这不等式可以用导数比较来证明：当r=0,1时，等式显然成立。在上定义f(x)=(1+x)r−(1+rx)，其中，对x微分得f'(x)=r(1+x)r−1−r，则f'(x)=0当且仅当x=0。分情况讨论：0r1，则对x0，f'(x)0；对−1x0，f'(x)0。因此f(x)在x=0时取最大值0，故得。r0或r1，则对x0，f'(x)0；对−1x0，f'(x)0。因此f(x)在x=0时取最小值0，故得。在这两种情况，等号成立当且仅当x=0。[编辑]相关不等式下述不等式从另一边估计(1+x)r：对任意x,r0，都有。佩多不等式几何学的佩多不等式，是关连两个三角形的不等式，以唐·佩多(DonPedoe)命名。这不等式指出：如果第一个三角形的边长为a,b,c，面积为f，第二个三角形的边长为A,B,C，面积为F，那么：Gothedistance，等式成立当且仅当两个三角形为一对相似三角形，对应边成比例；也就是a/A=b/B=c/C。[编辑]证明由海伦公式，两个三角形的面积可用边长表示为16f2=(a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(b+c−a)=(a2+b2+c2)2−2(a4+b4+c4)16F2=(A+B+C)(A+B−C)(A−B+C)(B+C−A)=(A2+B2+C2)2−2(A4+B4+C4),再由柯西不等式，16Ff+2a2A2+2b2B2+2c2C2=(a2+b2+c2)(A2+B2+C2)于是，=A2(b2+c2−a2)+B2(a2+c2−b2)+C2(a2+b2−c2)，命题得证。等号成立当且仅当,也就是说两个三角形相似。GothedistanceABC是第一个三角形，A'B'C'是取相似后的第二个三角形，BC与B'C'重合几何证法三角形的面积与边长的平方成正比，因此在要证的式子两边同乘一个系数λ2，使得λA=a，几何意义是将第二个三角形取相似（如右图）。设这时A、B、C变成x、y、z，F变成F'。考虑AA'的长度。由余弦公式，将,代入就变成：两边化简后同时乘以，并注意到a=x，就可得到原不等式。等号成立当且仅当A与A'重合，即两个三角形相似。内斯比特不等式Gothedistance内斯比特不等式是数学的一条不等式，它说对任何正实数a，b，c，都有：[编辑]证明此不等式证明方法很多，例如从平均数不等式我们有：，移项得出：，整理左式：，。因而不等式得证。埃尔德什－莫德尔不等式Gothedistance如图，埃尔德什-莫德尔不等式说明点O到三个顶点的距离之和（绿色线段）大于到三边距离之和（蓝色线段）的两倍在几何学中，埃尔德什-莫德尔不等式是一个二十世纪初期发现的不等式。埃尔德什-莫德尔不等式说明了：对于任何三角形ABC和其内部的一点O，点O到三角形三条边的距离之和总是小于或等于点O到三角形的三个顶点的距离之和的一半。埃尔德什-莫德尔不等式可以认为是几何学中的欧拉定理的一个推广。欧拉定理声称三角形外接圆的半径总是大于等于内切圆半径的两倍。[编辑]历史该不等式最早由埃尔德什在1935年在《美国数学月刊》上提出，作为第3740号问题。两年之后，由路易斯·莫德尔和D.F.巴罗证明。1957年，卡扎里诺夫提出了一个更简捷的证明[1]。之后不断有更简洁、更基本的证明出现。1958年班考夫（Bankoff）给出了运用正交投影和相似三角形的证明，1997年和2004年出现了使用面积不等式的证明，1993年和2001年发现了根据托勒密定理的证明。[编辑]证明如右图，O为三角形ABC中的一个点。O到三角形三边的垂线分别交三条边于D、E、F。设线段OA、OB、OC的长度分别是x、y、z，线段OD、OE、OF的长度分别是p、q、r，那么埃尔德什-莫德尔不等式为：Gothedistance一个初等的证明方式是使用三角函数以及均值不等式。首先，由于OF垂直于AF，OE垂直于AE，A、F、O、E四点共圆且OA为直径，因此线段（角A为顶点A对应的内角）。过点F、E作关于BC的垂线交BC于X、Y。过O作BC的平行线分别交FX、EY于U、V。由于OF垂直于AF，OE垂直于AE，，。于是：另一方面，注意到在直角梯形中FUVE中，斜腰EF的长度大于等于直角腰UV。因此：类似地，还有：，三式相加，得到：Gothedistance根据均值不等式，，等等，于是最终得到：这就是埃尔德什-莫德尔不等式。外森比克不等式设三角形的边长为a,b,c，面积为A，则外森比克不等式（Weitzenböck'sinequality）成立。当且仅当三角形为等边三角形，等号成立。佩多不等式是外森比克不等式的推广。[编辑]证明一除了“所有平方数非负”以外，这个证明不用到其它任何不等式。两边取平方根，即得证。舒尔不等式舒尔不等式说明，对于所有的非负实数x、y、z和正数t，都有：Gothedistance当且仅当x=y=z，或其中两个数相等而另外一个为零时，等号“=”成立。当t是正的偶数时，不等式对所有的实数x、y和z都成立。[编辑]证明由于不等式是对称的，我们不妨设。则不等式显然成立，这是因为左边的每一项都是非负的。把它整理，即得舒尔不等式。[编辑]推广舒尔不等式有一个推广：假设a、b、c是正的实数。如果（a，b，c）和（x，y，z）是顺序的，则以下的不等式成立：2007年，罗马尼亚数学家ValentinVornicu证明了一个更一般的形式：考虑，其中，而且要么，要么。设，并设要么是凸函数，要么是单调函数。那么：当x=a、y=b、z=c、k=1、ƒ(m)=mr时，即化为舒尔不等式。[1]