《数学分析》第九章-定积分-2

对定积分的补充规定:（1）当ba时，0)(badxxf；（2）当ba时，abbadxxfdxxf)()(.说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．一、基本内容证badxxgxf)]()([iiinixgf)]()([lim10iinixf)(lim10iinixg)(lim10badxxf)(.)(badxxgbadxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1babadxxfkdxxkf)()((k为常数).证badxxkf)(iinixkf)(lim10iinixfk)(lim10iinixfk)(lim10.)(badxxfk性质2badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.补充：不论的相对位置如何,上式总成立.cba,,例若,cbacadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(badxxf)(cbcadxxfdxxf)()(.)()(bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）则假设bca性质3dxba1dxbaab.则0)(dxxfba.)(ba证,0)(xf,0)(if),,2,1(ni,0ix,0)(1iinixf},,,max{21nxxxiinixf)(lim10.0)(badxxf性质4性质5如果在区间],[ba上0)(xf，例1比较积分值dxex20和dxx20的大小.解令,)(xexfx]0,2[x,0)(xf,0)(02dxxexdxex02,02dxx于是dxex20.20dxx性质5的推论：证),()(xgxf,0)()(xfxg,0)]()([dxxfxgba,0)()(babadxxfdxxg于是dxxfba)(dxxgba)(.则dxxfba)(dxxgba)(.)(ba如果在区间],[ba上)()(xgxf，（1）dxxfba)(dxxfba)(.)(ba证,)()()(xfxfxf,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa即dxxfba)(dxxfba)(.说明：可积性是显然的.|)(xf|在区间],[ba上的性质5的推论：（2）设M及m分别是函数证,)(Mxfm,)(bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba（此性质可用于估计积分值的大致范围）则)()()(abMdxxfabmba.)(xf在区间],[ba上的最大值及最小值，性质6例2估计积分dxx03sin31的值.解,sin31)(3xxf],,0[x,1sin03x,31sin31413x,31sin31410030dxdxxdx.3sin31403dxx例3估计积分dxxx24sin的值.解,sin)(xxxf2sincos)(xxxxxf2)tan(cosxxxx]2,4[x,0)(xf在]2,4[上单调下降,故4x为极大点，2x为极小点,,22)4(fM,2)2(fm,442ab,422sin4224dxxx.22sin2124dxxx如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，证Mdxxfabmba)(1)()()(abMdxxfabmba由闭区间上连续函数的介值定理知则在积分区间],[ba上至少存在一个点，使dxxfba)())((abf.)(ba性质7（定积分中值定理）积分中值公式在区间],[ba上至少存在一个点，使,)(1)(badxxfabfdxxfba)())((abf.)(ba在区间],[ba上至少存在一个点，即积分中值公式的几何解释：xyoab)(f使得以区间],[ba为以曲线)(xfy底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(f的一个矩形的面积。例4设)(xf可导，且1)(limxfx，求dttfttxxx2)(3sinlim.解由积分中值定理知有],2,[xx使dttfttxx2)(3sin),2)((3sinxxfdttfttxxx2)(3sinlim)(3sinlim2f)(3lim2f.6１．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）２．典型问题（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小．二、小结思考题定积分性质中指出，若)(),(xgxf在],[ba上都可积，则)()(xgxf或)()(xgxf在],[ba上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？思考题解答由)()(xgxf或)()(xgxf在],[ba上可积，不能断言)(),(xgxf在],[ba上都可积。为无理数，为有理数xxxf0,1)(为无理数，为有理数xxxg1,0)(显然)()(xgxf和)()(xgxf在]1,0[上可积，但)(),(xgxf在]1,0[上都不可积。例一、填空题：1、如果积分区间ba,被点c分成bcca,,与，则定积分的可加性为badxxf)(__________；2、如果baxf,)(在上的最大值与最小值分别为Mm与，则abdxxf)(有如下估计式：________________________________；3、时当ba，我们规定badxxf)(与abdxxf)(的关系是______________________；4、积分中值公式badxxf)()(,))((baabf的几何意义是_______________；练习题5、下列两积分的大小关系是：（1）102dxx_____103dxx（2）21lnxdx_______212)(lndxx（3）dxex10_______10)1(dxx二、证明：babadxxfkdxxkf)()(（是常数k）.三、估计下列积分333cotxdxxarc的值.四、证明不等式：2121dxx.六、用定积分定义和性质求极限:1、)21...2111(limnnnn;2.、40sinlimxdxnn.七、设)(xf及baxg,)(在上连续，证明：1、若在ba,上0)(xf,且badxxf0)(，则在ba,上0)(xf；2、若在ba,上，0)(xf,且)(xf不0恒等于，则badxxf0)(；3、若在ba,上)()(xgxf,且babadxxgdxxf)()(，则在)()(,xgxfba上.一、1、bccadxxfdxxf)()(；2、baabMdxxfabmba,)()()(；3、badxxf)(abdxxf)(；4、曲边梯形各部分面积的代数和等于为邻与abf)(边的矩形面积；5、(1)；(2)；(3).三、1、32arctan9331xdxx；2、53arcsin24213210xxxdx.练习题答案