向量的概念及运算知识点与例题讲解

向量的概念及运算知识点与例题讲解【基础知识回顾】1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。向量一般用cba,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB，a；坐标表示法),(yxjyixa。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|即向量的大小，记作｜a|。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小②零向量长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a＝0｜a｜＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）③单位向量模为1个单位长度的向量，向量0a为单位向量｜0a｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的⑤相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ba。大小相等，方向相同),(),(2211yxyx2121yyxx。2．向量的运算（1）向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,ABaBCb，则a+b=ABBC=AC。规定：（1）aaa00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。ABCab（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连”。（2）向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：（i）)(a=a；(ii)a+(a)=(a)+a=0；(iii)若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0。②向量减法向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：)(baba求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：ba可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）。（3）实数与向量的积①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）aa；（Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向相反；当0时，0a，方向是任意的。②数乘向量满足交换律、结合律与分配律3．两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a。4．平面向量的基本定理如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底5．平面向量的坐标表示（1）平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,ij作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成axiyj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。规定：（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。（2）平面向量的坐标运算：①若1122,,,axybxy，则1212,abxxyy；②若2211,,,yxByxA，则2121,ABxxyy；③若a=(x,y)，则a=(x,y)；④若1122,,,axybxy，则1221//0abxyxy。【思考·提示】数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”,能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的。新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似，虽然只是个别小题，但它对学习具有指导意义，教学中重视教材的使用应有不可估量的作用。因此，学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，形成知识体系。学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点（1）向量的加法与减法是互逆运算；（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件；（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况；（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系【课前小测】1.设平面向量3,5,2,1ab，则2ab（）A．7,3B．7,3C．10D．-102已知向量,1,4,//axbxab且则的值为（）A.0B.2C.4或－4D.2或－23已知点A（－1，0）、B（1，3），向量21,2ak，若ABa，则实数k的值为（）A．－2B．－1C．1D．24已知向量3,4a，向量a与b方向相反，且,1bab，则实数．5.已知直角梯形的顶点坐标分别为，则实数的值是.【典例解析】题型1：平面向量的概念例1．（1）给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a=b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a=b，b=c，则a=c；④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b；⑤若a//b，b//c，则a//c；其中正确的序号是。（2）设0a为单位向量，（1）若a为平面内的某个向量，则a=|a|·0a;(2)若a与a0平行，则a=|a|·0a；（3）若a与0a平行且|a|=1，则a=0a。上述命题中，假命题个数是（）A．0B．1C．2D．3解析：（1）①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；②正确；∵ABDC，∴||||ABDC且//ABDC，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，//ABDC且||||ABDC，因此，ABDC。③正确；∵a=b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c。④不正确；当a//b且方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到a=b，故|a|=|b|且a//b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件；⑤不正确；考虑b=0这种特殊情况；综上所述，正确命题的序号是②③。点评：本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多，因而容易遗忘。为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。（2）向量是既有大小又有方向的量，a与|a|0a模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若a与0a平行，则a与0a方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时a=－|a|0a，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答案选D。点评：向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。题型2：平面向量的运算法则例2．如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（C）A.DCABB.ACABADC.BDADABD.CBAD=0变式1.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于（A）A.BABC21B.BABC21C.BABC21D.BABC212.下列各命题中，真命题的个数为（D）①若|a|=|b|，则a=b或a=-b；②若DCAB，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点；③若a=b,b=c，则a=c;④若a∥b,b∥c,则a∥c.A.4B.3C.2D.13.在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=-4a-b，CD=-5a-3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（A）A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形4.在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB=2GE，设AB=a，AC=b，试用a、b表示AD,AG，.5.设P是△ABC所在平面内的一点，BPBABC2，则（B）A.PBPA0B.APPC0C.CPPB0D.CPPBPA06．已知向量)3,1(a，)0,2(b，则|ba|=_____________________.【答案】２【解析】由(1,3),||132.abab。。已知平面向量a=,1x（），b=2,xx（－），则向量ab()A平行于x轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y轴D.平行于第二、四象限的角平分线答案C解析ab2(0,1)x,由210x及向量的性质可知,C正确.题型3：平面向量的坐标及运算例5．已知ABC中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC边上的高为AD，求AD。解析：设D(x,y)，则2,1,3,2,,3ADxyBDxyBCb∵,ADBCBDBC0263301326yxyx得11yx所以1,2AD。例6．已知点)6,2(),4,4(),0,4(CBA,试用向量方法求直线AC和OB（O为坐标原点）交点P的坐标。解析：设(,)Pxy，则(,),(4,)OPxyAPxy因为P是AC与OB的交点，所以P在直线AC上，也在直线OB上。即得//,//OPOBAPAC，由点)6,2(),4,4(),0,4(CBA得，(2,6),(4,4)ACOB。得方程组6(4)20440xyxy，解之得33xy。故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3)。题型4：平面向量的性质例7．平面内给定三个向量3,2,1,2,4,1abc，回答下列问题：（1）求满足ambnc的实数m,n；（2）若//2akcba，求实数k；（3）若d满足//dcab，且5dc，求d。解析：（1）由题意得1,42,12,3nm，所以2234nmnm，得9895nm。（2）34,2,25,2akckkba，1316,025432kkk；（3）4,1,2,4dcxyab由题意得5140124422yxyx，得13yx或35yx。例8．已知).1,2(),0,1(ba（1）求|3|ba；（2）当k为何实数时，kab与ba3平行，平行时它们是同向还是反向？解析：（1）因为).1,2(),0,1(ba所以3(7,3)ab则22|3|7358ab（2