高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第一部分 25个必考问题 专项突破《必考问题9 不等式及线性

必考问题9不等式及线性规划问题返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛抓住命题方向返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【真题体验】1．(2011·南京模拟)已知A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x2＋2x＋a≥0}，A、B的交集不是空集，则实数a的取值范围是________．解析若A，B的交集是空集时，即x2＋2x＋a＜0在1≤x≤2上恒成立．令f(x)＝x2＋2x＋a，因为对称轴为x＝－1，所以y＝f(x)在集合A上递增，所以f(2)＜0即可，所以a＜－8，所以A，B的交集不是空集时，实数a的取值范围是a≥－8.答案[－8，＋∞)返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛2．(2012·江苏，13)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛解析由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝x＋a22＋b－a24.∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－a24＝0，即b＝a24.∴f(x)＝x＋a22.又∵f(x)＜c，∴x＋a22＜c，即－a2－c＜x＜－a2＋c.∴－a2－c＝m，①－a2＋c＝m＋6.②由②－①得2c＝6，∴c＝9.答案9返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛3．(2012·江苏，14)已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，则ba的取值范围是________．解析由题意知a＋b≤4c，3a＋b≥5c，clnb－a≥clnc⇒b≥ceac.作出可行域(如图所示)．由a＋b＝4c，3a＋b＝5c，返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛得a＝c2，b＝72c.此时bamax＝7.由a＋b＝4c，b＝ceac，得a＝4ce＋1，b＝4cee＋1.此时bamin＝4cee＋14ce＋1＝e.所以ba∈[e,7]．答案[e,7]返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛4．(2010·江苏，12)设实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤x2y≤9，则x3y4的最大值是________．解析根据不等式的基本性质求解.x2y2∈[16,81]，1xy2∈18，13，x3y4＝x2y2·1xy2∈[2,27]，x3y4的最大值是27.答案27返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛5．(2012·南京模拟)已知变量x，y满足约束条件x＋y≥2，x－y≤1，y≤2.则目标函数z＝－2x＋y的取值范围是________．解析约束条件对应的可行域如图，由图可知，当目标函数经过图中点(3,2)时取得最小值－4，经过点(0,2)时，取得最大值2，所以取值范围是[－4,2]．答案[－4,2]返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)线性规划的要求是A级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解；(3)不等式作为一种重要工具，要理解不等式的性质、简单不等式的解法及含参数不等式的分类讨论等．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【应对策略】对不等式的学习要立足基础，重在理解，加强训练，学会建模，培养能力，提高素质，具体要注意以下几点：(1)学习不等式性质时，要弄清条件与结论，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数运算法则为依据解决问题；(2)解决某些不等式时，要与函数定义域、值域、单调性联系起来，注重数形结合思想，解含参数不等式时要注意分类讨论思想；返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛(3)要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数和方程的对比与联系，充分利用函数与方程思想、数形结合处理不等式问题；(4)利用线性规划解决实际问题时，充分利用数形结合思想，会达到事半功倍的效果，因此要力求画图准确．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛必备知识方法返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛必备知识1．一元二次不等式的求解步骤：一变、二求、三画、四结论．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛2．一元二次不等式恒成立的条件设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则ax2＋bx＋c＞0恒成立(解集为R)⇔y＝f(x)图象恒在x轴上方⇔f(x)min＞0⇔a＞0，Δ＝b2－4ac＜0.ax2＋bx＋c＜0恒成立(解集为R)⇔y＝f(x)图象恒在x轴下方⇔f(x)max＜0⇔a＜0，Δ＝b2－4ac＜0.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛3．二元一次不等式表示的平面区域直线定界，特殊点定域．注意：边界的虚实线．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛必备方法1．三个“二次”的关系一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点．2．对于给定集合M和给定含参数的不等式f(x)＞0，求不等式中的参数的取值范围问题，要看清楚题目的要求，再相应求解，不妨“对号入座”：返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛(1)若M是f(x)＞0的解集，则由M＝{x|f(x)＞0}来求；(2)若f(x)＞0在M上有解，则由M∩{x|f(x)＞0}≠∅来求；(3)若f(x)＞0在M上恒成立，则由M⊆{x|f(x)＞0}来求．3．简单的线性规划问题解题步骤：一画二移三算四答，充分挖掘目标对象的几何意义！通常与直线的纵截距、斜率，圆的半径或半径的平方有关．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛热点命题角度返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛命题角度一一元二次不等式[命题要点]①简单一元二次不等式的解法；②含参数的一元二次不等式的解法．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【例1】►解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0.[审题视点]不等式的左端可以先分解因式，然后根据a＞0，a＝0，a＜0的情况和方程ax2－(2a＋1)x＋2＝0两个根的大小进行分类求解．[听课记录]返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛解不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0，即(ax－1)(x－2)＜0.(1)当a＞0时，不等式可以化为x－1a(x－2)＜0.①若0＜a＜12，则1a＞2，此时不等式的解集为2，1a；返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛②若a＝12，则不等式为(x－2)2＜0，不等式的解集为∅；③若a＞12，则1a＜2，此时不等式的解集为1a，2.(2)当a＝0时，不等式即－x＋2＜0，此时不等式的解集为(2，＋∞)．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛(3)当a＜0时，不等式可以化为x－1a(x－2)＞0.由于1a＜2，故不等式的解集为－∞，1a∪(2，＋∞)．综上所述，当a＜0时，不等式的解集为－∞，1a∪(2，＋∞)；返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛当a＝0时，不等式的解集为(2，＋∞)；当0＜a＜12时，不等式的解集为2，1a；当a＝12时，不等式的解集为∅；当a＞12时，不等式的解集为1a，2.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛含有参数的一元二次不等式在能通过因式分解求出对应方程根的情况下，按照本题的方法求解，但如果不能根据因式分解的方法求出其根，则需要按照不等式对应方程根的判别式的情况进行分类．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【突破训练1】已知关于x的不等式ax－1x＋1＞0的解集是(－∞，－1)∪12，＋∞，则a＝________.解析由题意，可得a≠0，且不等式等价于a(x＋1)·x－1a＞0.由不等式解集的特点可得a＞0且1a＝12，故a＝2.答案2返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛命题角度二含参不等式恒成立问题[命题要点]一元二次不等式有解、恒成立，求参数的取值范围．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【例2】►(2012·镇江质量检测)不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)对任意a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．[审题视点]不等式中有两个变量，可以先看成关于其中一个变量的一元二次不等式恒成立，再考虑另一个变量．[听课记录]返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛解析先将不等式整理为关于a的一元二次不等式为a2－λba＋8b2－λb2≥0，对任意a∈R恒成立，所以λ2b2－4(8b2－λb2)≤0，即(λ2＋4λ－32)b2≤0，对任意b∈R恒成立，则λ2＋4λ－32≤0，解得－8≤λ≤4.答案－8≤λ≤4返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛含有多变量的不等式是近年来考查热点，要将不等式逐个看成关于某一变量的不等式，其它变量先看作常数，这样可以逐步减少变量个数，同时要看清是恒成立还是有解．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【突破训练2】已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．解原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立，显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，从而有a＋2＞0，Δ＝42－4a＋2a－1＜0，整理，得a＞－2，a－2a＋3＞0，所以a＞－2，a＜－3，或a＞2，所以a＞2.故a的取值范围是(2，＋∞)．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛命题角度三线性规划问题[命题要点]线性规划考题的新变化为：问题中的目标函数形式已不再局限为单一的、线性的，甚至有的问题隐含有线性规划知识，以上这些变化都可以通过适当的方法转化为较为基本的问题来解决．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【例3】►(2012·苏锡常镇调研)设实数n≤6，若不等式2xm＋(2－x)n－8≥0对任意x∈[－4,2]都成立，则m4－n4m3n的最小值为________．[审题视点]先对题干中恒成立问题进行转化，得到关于m，n的关系式，再利用线性规划知识解决．[听课记录]返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛解析因为不等式2xm＋(2－x)n－8≥0即为(2m－n)x≥8－2n，对任意x∈[－4,2]都成立，所以22m－n≥8－2n－42m－n≥8－2n，所以m，n满足的不等式为m≥24m－3n＋4≤0n≤6，所以点(m，n)对应的平面区域如图，nm的几何意义是可行域上的点与原点的连线的斜率，返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛所以nm∈127，3，而目标函数m4－n4m3n＝mn－nm3，令nm＝t∈127，3，则目标函数即为y＝1t－t3，其导数y′＝－1t2－3t2＜0，所以函数y＝1t－t3在t∈