81模拟滤波器设计

模拟滤波器设计实际信号除有用信号外，往往带有干扰，这些干扰有的是与有用信号同时产生的，有的是在信号传输与处理过程中由于不同系统间的相互作用引起的。在信号处理中从带有干扰的信号中分离出有用信号的装置称为滤波器。在电子测量、通信、电视等领域，滤波器的使用极为广泛。当有用信号与希望滤除的干扰占有不同的频带时，用一个在有用信号频带增益较高、而在干扰频带增益较低的选频滤波器则能分离出有用信号。当有用信号与干扰的频带有重叠时，需要按照随机信号内部的一些统计分布规律最佳地提取有用信号，如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。只介绍选频滤波器。根据处理的是模拟信号还是数字信号，滤波器可分为模拟和数字两大类。模拟滤波器用电路实现，数字滤波器用计算机、数字信号处理芯片等完成有关数字处理，通过一定运算关系改变输入信号的频谱分布。数字滤波器和模拟滤波器都起改变频谱分布的作用，只是信号的形式和实现滤波的方法不同。一般来说，模拟滤波器成本低、功耗小，目前频率可达几十MHz。数字滤波器则精度高，稳定、灵活，便于实现模拟滤波器难以实现的特殊滤波功能。滤波器设计问题主要是根据给定的频率响应指标确定系统函数的问题，其内容相当广泛。本章介绍滤波器设计的基本概念和一些实用方法：首先介绍滤波器的一些典型逼近函数，主要为巴特沃思逼近和切比雪夫逼近；然后介绍频率变换，将低通滤波器的系统函数转换为带通、高通等的系统函数；接着再介绍有源滤波器的概念。§1滤波器的一些典型逼近函数一、滤波器的频率响应理想滤波器由于是不可实现的，它只有在理论分析中才有用。所幸的是，实际中并不严格要求系统函数的幅度在干扰信号频带绝对为零，只要非常小就行，在有用信号频带也不必一定为恒定值，可以在很小的范围内变化，只要其幅度相对较大；幅频特性曲线也不必在某一频率处特别陡峭。理论还证明，对物理可实现的滤波器，其系统函数的实部和虚部具有依从关系，因而实际滤波器也就不能同时满足幅度要求和相位要求。在滤波器设计中，由于幅度函数为角频率的偶对称函数，相位函数为的奇对称函数，因而以下只考虑为正值时的频率响应。当幅度函数在某一频率范围(s1，s2)内很小时，称该频率区间为阻带。当幅度函数在某一频率范围(P1，P2）内相对其它频率处的幅度较大，而且幅度的变化范围又比较小，称该频率区间为通带。此外，还定义通带与阻带间的频率范围为过渡带。为了实现滤波的目的，有用信号的频带应在滤波器的通带之内，干扰信号的频带应在阻带内。低通滤波器的幅频响应曲线如图1-1（a）所示，它的通带为(0，p），阻带为(s，∞)，过渡带为(p，s），p称为通带（截止）频率，s称为阻带（截止）频率。在通带或阻带内，幅度函数可以是单调的，也可以在一定范围内起伏变化。为了便于描述通带与阻带的相对变化量，定义|H(j)|dB的最大值与通带内最小值之差为通带波纹，用Ap表示，定义|H(j)|dB的最大值（也可为通带内的其他值）与阻带内最大值之差为阻带衰减，用As表示，Ap和As都以分贝度量，为正值。若|H(j)|的最大值为1，通带和阻带的变化量分别为p和s（见图1-1（b）），根据Ap和As的定义，则有)1log(20ppA或20/pp101Asslog20A或20/ss10A高通滤波器的通带为(p,∞），阻带为(0，s)，如图1-1(c)所示。带通滤波器的幅频曲线如图1-1(d)所示。P1，P2为通带频率，s1，s2为阻带频率，当幅频特性呈几何对称时，还定义中心频率012pp（1-1）带阻滤波器的幅频曲线如图1-1(e)所示。全通滤波器在所有频率处的幅度相同，它主要用于相位补偿。|H(j)|/dBps0p0s-100（a）低通（幅度用dB表示）|H(j)|ps0p1sps0|H(j)|(b)低通(c)高通p1p2s1s20|H(j)|p1p2s1s20|H(j)|（d）带通（e）带阻图1-1滤波器的幅频特性二、逼近的一般方法滤波器设计的首要任务是要确定满足技术指标要求的系统函数，系统函数必须是物理可实现的，因而要满足因果性和稳定性。由于|H(s)|s=j=|H(j)|为复数)](jIm[j)](jRe[e|)(j|)(j)(jHHHH则有j2)()()j()(j|)(j|ssHsHHHH（1-2）由于集总系统的系统函数H(s)是s的有理函数，则H(s)H(-s)是s2的有理函数，|H(j)|2必为2的有理函数。在研究滤波器的逼近函数问题中，一般由|H(j)|2确定H(s)。当满足滤波器技术指标要求的|H(j)|2给定后，将|H(j)|2表达式中的2用s2替换，得出与|H(j)|2对应的H(s)H(-s)，而后求出H(s)H(-s)的极点和零点，由于H(s)H(-s)是s2的有理函数，若p为H(s)H(-s)的一个极点（或零点），则-p也必然为极点（或零点），如图1-2所示。显然，虚轴上的极点（或零点）必是二重的。(2)(2)sj图1-2H(s)H(-s)极点（或零点）分布的对称性根据s平面上H(s)H(-s)的零点与极点的分布图，考虑到H(s)必须是稳定的，因此，位于左半平面的极点应属于H(s)，而右半平面的极点属于H(-s)。然而，零点的分配则不是惟一的，现来考察它对频率特性的影响。系统在正弦输入下，输出信号相位)(y与输入信号相位)(x及系统函数相位)(存在下式关系)()()(xy系统的相移为)(，系统的相延迟时间dt和群延迟时间gt分别定义为)(dtd)(dgt（1-3）如果)(与频率的成线性关系，则dt与gt相等，且为常数。对线性时不变系统，)(为超越函数，而群延迟时间总是2的有理函数。设)(sH和)(ˆsH具有相同的极点，2j2ˆ2,12,1pp；而二者的零点却以j轴成镜像关系，,1j1ˆ,1j12,12,1zz，如图1-3所示。因|ˆj||j|11zz，|ˆj||j|22zz，因此)j(H和)j(ˆH具有相同的幅频特性。再看二者的相移特性，分别为)]j)(jarg[()(2121pp)]j)(jarg[(ˆˆ)(ˆ2121pp当0时，因11ˆ，22ˆ，则)(ˆ)(以上讨论说明：极点均位于左半平面且具有相同幅频特性的两个系统函数，对任一大于零的，全部零点位于左半平面的系统函数的相移总小于在右半平面有零点的系统函数的相移，故称极点和零点均在左半平面的系统函数为最小相移函数。sj12-1-2-j1j1p1p2z1z2j112sj12-1-2-j1j1p1p2j11?z2?z1?2(a)最小相移(b)非最小相移图1-3最小相移函数与非最小相移函数的s平面图尽管系统的稳定性与系统函数零点的分布无关，但常见的滤波器用最小相移函数描述，否则在滤波器的输入与输出之间需要多个通路，从而导致了滤波器实现的复杂性，这在实际中应尽可能避免。以后均把H(s)取为最小相移函数。滤波器在工程中使用相当普遍，一些逼近函数在滤波器设计中发挥着重要作用，低通滤波器常见的逼近函数有：（1）巴特沃思（Butterworth）逼近该逼近函数在通带和阻带内具有单调衰减的幅频特性。（2）切比雪夫（Chebyshev）逼近其幅频特性在通带内等波纹变化，在阻带内单调衰减。在相同阶数条件下，切比雪夫滤波器比巴特沃思滤波器有更好的衰减特性。（3）反切比雪夫逼近其幅频特性在通带内单调衰减，在阻带内等波纹变化。（4）椭圆逼近（也称考尔（Cauer）逼近或双切比雪夫逼近）其幅频特性在通带和阻带内均按等波纹变化。（5）贝塞尔（Bessel）逼近它是用泰勒级数逼近s=0附近的线性相位特性。图1-4给出了低通滤波器几种逼近函数的幅频特性，均为5阶函数，通带频率为1rad/s，最大增益为1。其中，图1-4(a)为巴特沃思逼近；图1-4(b)为切比雪夫逼近，通带波纹（或通带变化量0.2）；图1-4(c)为反切比雪夫逼近，阻带衰减（或阻带变化量0.2）；图1-4(d)为椭圆逼近，通带波纹1.94dB，阻带衰减14dB。由于任一通带频率的系统函数可以利用频率变换方法从1prad/s的得到，以下取通带频率1prad/s，只讨论低通滤波器的巴特沃思逼近函数和切比雪夫逼近函数，其他逼近函数可参考有关滤波器设计手册。012341012341|)j(|H|)j(|H(a)(b)012341012341|)j(|H|)j(|H(c)(d)图1-4几种逼近函数的幅频特性三、巴特沃思逼近巴特沃思低通滤波器幅度函数的平方用下式给出NH2211|)j(|（1-4）式中通带频率取为1rad/s，N是系统函数的阶数。由上式可计算出：0时，1|)j0(|H；1rad/s时，21|)j1(|H，即在通带频率处衰减约3dB，故有时称巴特沃思滤波器3dB通带频率为1rad/s；时，0|)j(|H。式（1-4）描述的)j(H的幅频特性如图1-5所示，它具有以下特点：11.21.41.61.822.22.42.62.83-100-90-80-70-60-50-40-30-20-100/(rad/s)|H(j)|/dB12345678910图1-5巴特沃思函数的幅频特性（1）|)j(|H为单调减函数，N愈大，愈接近理想低通滤波特性。当1rad/s时，频率每增加十倍，特性曲线下降dB)20(N，即以dB/dec)20(N的速率下降。（2）可以证明，)12,,1,0(,0d|)j(|d0NiHii，这表明|)j(|H在通带内具有最大平直特性。下面根据式（1-4）求系统函数)(sH。令js，有NNssHsH2)1(11)()(（1-5）上式极点为NksNkk2,,2,1eπ21221j（1-6）图1-6给出了N=3和N=4时的极点分布，可见，2N个极点以Nπ为间隔均匀分布在半径为1的圆周上。sjs1s2s3s4s5s61-1sjs1s2s3s4s5s6s7s81-1（a）N=3（b）N=4图1-6式（1-5）的极点分布当取Nk,,2,1时，用式（1-6）求得的极点位于左半平面，用这些极点可构成稳定的)(sH。以N=3为例，有π32j1es；1eπj2s；π32j3es则)(sH为1221)1)(1(11)32cos(2)1(1ee)1(1)(2322π32jπ32jsssssssssssssH按以上方法，还可求得其他阶数的)(sH，巴特沃思系统函数的分母多项式)(sA如表1-1所示。表1-1巴特沃思低通滤波器分母多项式的系数1)(111sasassANNNNa1a2a3a4a521.41421432.0000002.00000042.6131263.4142142.61312653.2360685.2360685.2360683.23606863.8637037.4641029.1416207.4641023.863703根据技术指标设计滤波器，首先要确定出滤波器的阶数。由于巴特沃思逼近函数及其有关表格和曲线是按3dB通带频率1rad/s给出的，因此，需要对频率变量做尺度变换，将原始3dB通带频率p折算为1rad/s，相应地将原始阻带角频率s折算为pss/[①]，这一过程有时称之为频率归一化。将通带频率为1rad/s的低通滤波器转化为其他通带频率低通滤波器的过程为去归一化，可称为低通到低通（LP2LP）变换，如图1-7所示。将通带频率是1rad/s的系统函数)(1sH变换为通带频率是p的