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数学练习3-圆与垂径定理，等弧对等弦（圆心角）定理©2011菁优网菁优网©2010箐优网一、填空题（共8小题）1、圆周上有6个点，任两点间连一条线段，则这些线段在圆内的交点最多有_________个．2、点M是半径为5的⊙O内一点，且OM=4，在过M所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为_________．3、在半径为5的⊙O中，有两平行弦AB．CD，且AB=6，CD=8，则弦AC的长为_________．4、已知正方形内接于圆心角为90°，半径为10的扇形（即正方形的各顶点都在扇形上），则这个正方形的边长为_________．5、如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F．请写出一条与BC有关的正确结论：_________．6、巫山长江公路大桥是一个中承式钢管砼圆弧形拱桥，主跨度AB=492米，拱桥最高点C距水面100米，则该拱桥的半径是_________米．7、如图是一条直径为2米的圆形污水管道横截面，其水面宽1.6米，则此时污水的最大深度为_________米．8、（2004•郑州）如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，且D是弧AB的中点，CD交OB于E，∠AOB=100°，∠OBC=55°，那么∠OEC=_________度．二、选择题（共13小题）9、（2004•南宁）中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了（）菁优网©2010箐优网A、一倍B、二倍C、三倍D、四倍10、思考下列命题：（1）等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，则顶角为75度；（2）两圆圆心距小于两圆半径之和，则两圆相交；（3）在反比例函数y=中，如果函数值y＜1时，那么自变量x＞2；（4）圆的两条不平行弦的垂直平分线的交点一定是圆心；（5）三角形的重心是三条中线的交点，而且一定在这个三角形三角形的内部；其中正确命题的有几个（）A、1B、2C、3D、411、（2003•黑龙江）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长为整数，则满足条件的点P有（）A、2个B、3个C、4个D、5个12、如图，两个以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．OH⊥AB于H，则图中相等的线段共有（）A、1组B、2组C、3组D、4组13、如图，在⊙O中，C为弦AB上一点，AC=2，BC=6，⊙O的半径为5，则OC=（）A、B、4C、3D、14、有下列结论：（1）平分弦的直径垂直于弦；（2）圆周角的度数等于圆心角的一半；（3）等弧所对的圆周角相等；（4）经过三点一定可以作一个圆；（5）三角形的外心到三边的距离菁优网©2010箐优网相等；（6）等腰梯形一定有一个外接圆；（7）垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的个数为（）A、1个B、2个C、3个D、4个15、下列命题中，不正确的是（）A、垂直平分弦的直线经过圆心B、平分弦的直径一定垂直于弦C、平行弦所夹的两条弧相等D、垂直于弦的直径必平分弦所对的弧16、“两龙”高速公路是目前我省高速公路隧道和桥梁最多的路段．如图，是一个单心圆曲隧道的截面，若路面AB宽为10米，净高CD为7米，则此隧道单心圆的半径OA是（）A、5B、C、D、717、（2009•福州）如图，弧是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是（）A、15B、20C、15+D、15+18、下列命题中为真命题的是（）A、有一个角是40°的两个等腰三角形相似B、三点一定可以确定一个圆C、圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等D、三角形的内心到三角形三边距离相等19、在同圆中同弦所对的圆周角（）菁优网©2010箐优网A、相等B、互补C、相等或互补D、互余20、（2008•泰安）如图，在⊙O中，∠AOB的度数为m，C是弧ACB上一点，D、E是弧AB上不同的两点（不与A、B两点重合），则∠D+∠E的度数为（）A、mB、180°﹣C、90°+D、21、下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A、3个B、2个C、1个D、4个三、解答填空题（共6小题）22、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，则=_________度．23、如图，在平面直角坐标系中，⊙D与坐标轴分别相交于A（﹣，0），B（，0），C（0，3）三点．（1）⊙D的半径是_________；（2）E为优弧AB一动点（不与A，B，C三点重合），EN⊥x轴于点N，M为半径DE的中点，连接MN，求证∠DMN=3∠MNE；（3）在（2）的条件下，当∠DMN=45°时，E点的坐标是_________．菁优网©2010箐优网24、已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，则BC边上的高_________．25、（2005•内江）如图所示，⊙O半径为2，弦BD=2，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，则四边形ABCD的面积为_________．26、△ABC中，∠A=∠B，⊙O与OA交于点C，与OB交于点D，与AB将于点E、F．（1）则_________；（2）则图中相等的线段（不要求证明）有_________对．27、如图，半径为2的半圆O中有两条相等的弦AC与BD相交于点P．（1）求证：PO⊥AB；（2）若BC=1，则PO的长是_________．四、解答题（共3小题）28、（2010•长春）如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，求直尺的宽．菁优网©2010箐优网29、（2008•镇江）如图，AB为⊙O直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．（1）∠OCD的平分线CE交⊙O于E，连接OE．求证：E为的中点；（2）如果⊙O的半径为1，CD=．①求O到弦AC的距离；②填空：此时圆周上存在_________个点到直线AC的距离为．30、（2010•潍坊）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC=CD．（1）求证：OC∥BD；（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC的形状．菁优网©2010箐优网答案与评分标准一、填空题（共8小题）1、圆周上有6个点，任两点间连一条线段，则这些线段在圆内的交点最多有15个．考点：圆的认识。分析：要求最多的交点数，即任意两条线段都有一个交点．解答：解：1+2+3+4+5=15．点评：求交点的最多数，即让每两条直线都产生交点，且每两个交点不重合．2、点M是半径为5的⊙O内一点，且OM=4，在过M所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为8．考点：垂径定理。分析：先求出过M所有⊙O的弦的取值范围，再取整数解．解答：解：过点M作AB⊥OM于M，连接OA，因为M=4，半径为5，所以AM==3，所以AB=3×2=6，所以过点M的最长弦为5×2=10，最短弦为6，在6和10之间的整数有7，8，9，由于左右对称，弦的条数有6条，加上AB和OM，共8条．点评：此题首先进行精确计算，求出AB和OM的长，然后进行逻辑推理，推断出符合要求的线段的条数，有一定的开放性．3、在半径为5的⊙O中，有两平行弦AB．CD，且AB=6，CD=8，则弦AC的长为或．考点：垂径定理；勾股定理。分析：先求出两弦心距，再分两种情况利用勾股定理求解．解答：解：利用垂径定理和勾股定理可知：OE=3，OF=4，①如图，∵4﹣3=1，（8﹣6）÷2=1，∴AC==；②如图，∵4+3=7，（8﹣6）÷2=1，∴AC==5．因此，弦AC的长为或5．菁优网©2010箐优网点评：本题综合考查了垂径定理和勾股定理的运用．4、已知正方形内接于圆心角为90°，半径为10的扇形（即正方形的各顶点都在扇形上），则这个正方形的边长为5或2．考点：垂径定理；勾股定理；正方形的性质。专题：分类讨论。分析：根据题意画出图形，由于正方形内接于扇形，故应分两种情况进行讨论．解答：解：如图1所示：连接OD，设正方形OCDE的边长为x，则在Rt△OCD中，OD2=OC2+CD2，即102=x2+x2，解得x=5；如图2所示，过O作OG⊥DE，交CF于点H，连接OD，设FH=x，∵四边形CDEF是正方形，∴OH⊥CF，∴FH=CH=x，∵∠AOC=90°，∴CH=OH，∴OG=3x，在Rt△ODG中，OD2=GD2+OG2，即102=x2+（3x）2，解得x=，∴CF=2x=2．故答案为：5或2．菁优网©2010箐优网点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造出直角三角形，再进行解答．5、如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F．请写出一条与BC有关的正确结论：BC=BD或OF∥BC或△BCE∽△OAF或BC2=BE•AB或BC2=CE2+BE2或△ABC是直角三角形（答案不唯一）．．考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。专题：开放型。分析：由AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E可得出BC=BD；由AB是⊙O的直径可知∠ACB=90°，故△ABC是直角三角形；根据OE⊥AC可知，OF∥BC；由相似三角形的判定定理可得出，△BCE∽△OAF，BC2=BE•AB；由△BCE是直角三角形可知BC2=CE2+BE2．解答：解：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，∴BC=BD；∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形；∵OE⊥AC，∴OF∥BC；∵OF∥BC，∴△BCE∽△OAF，BC2=BE•AB；∵△BCE是直角三角形，∴BC2=CE2+BE2．故答案为：BC=BD或OF∥BC，或△BCE∽△OAF或BC2=BE•AB或BC2=CE2+BE2或△ABC是直角三角形（答案不唯一）．点评：本题考查的是垂径定理、勾股定理、圆周角定理及相似三角形的判定与性质，本题属开放型题目，答案不唯一．6、巫山长江公路大桥是一个中承式钢管砼圆弧形拱桥，主跨度AB=492米，拱桥最高点C距水面100米，则该拱桥的半径是352.58米．菁优网©2010箐优网考点：垂径定理的应用；勾股定理。分析：作OC⊥AB，构造直角三角形并根据垂径定理和勾股定理求解．解答：解：如图，点O是拱桥所在的圆的圆心，作OC⊥AB交圆于点C，则由垂径定理知，点D是AB的中点，AD=DB=AB=246，OD=OC﹣CD=AO﹣DC，由勾股定理知，AO2=AD2+OD2=AD2+（OC﹣DC）2=2462+（AO﹣100）2，解得，AO=352.58m．故答案为352.58．点评：本题利考查了勾股定理的应用的知识，用了垂径定理和勾股定理求解．建立数学模型是关键．7、如图是一条直径为2米的圆形污水管道横截面，其水面宽1.6米，则此时污水的最大深度为0.4米．考点：垂径定理的应用。专题：探究型。分析：先连接OA，过O作OC⊥AB于点D，由垂径定理可知AD=AB，再在Rt△OAD中利用勾股定理可求出OD的长，再根据CD=OC﹣OD即可得出结论．解答：解：如图所示：连接OA，过O作OC⊥AB于点D，∵OC⊥AB，AB=1.6米．菁优网©2010箐优网∴AD=AB=×1.6=0.8米，∵圆形污水管道的直径为2米，∴OA=OC=1米，在Rt△OAD中，OD===0.6（米），∴C