平行四边形的判定

人教版数学教材八年级下18.1.2平行四边形的判定（2）有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形ABCD四边形ABCD如果AB∥CDAD∥BCBDABCDACBDACO平行四边形的性质：边平行四边形的对边平行平行四边形的对边相等角平行四边形的对角相等平行四边形的邻角互补对角线平行四边形的对角线互相平分∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CDAD=BC∴AB∥CDAD∥BCDBCA0180BAODOBOCOA（1）引导学生将实际问题转化为数学问题；如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？B大家齐动手凭直觉和测量都确实感受到它是平行四边形我们如何用推理的方法加以证明呢？试一试吧！也许会成功ABCD已知：在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC求证：四边形ABCD是平行四边形证明思路1234AB∥CD,AD∥BC∠1=∠2，∠3=∠4⊿ABC≌⊿CDA行家伸伸手（2）学生分组进行讨论，归纳得出：判定定理1：有两组对边相等的四边形是平行四边形；已知：在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB.求证：四边形ABCD是平行四边形ABCD如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？由上面的证明你得到了什么结论？平行四边形判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形百炼成金B几何语言：∵AB＝CD，AD＝BC∴四边形ABCD是平行四边形如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF，图中有哪些互相平行的线段？FABCDE解：图中互相平行的线段有：AB//DC//EF，AD//BC，DE//CFAD∥BCAB=DCAD=BC四边形ABCD是平行四边形AB∥DCDC∥EFDC=EFDE=CF四边形CDEF是平行四边形DE∥CFAB∥DC∥EF理由如下：BCAD想一想：这个四边形具备了怎样的特征？动动脑你能用一句话概括你的发现吗？一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD.求证：四边形ABCD是平行四边形ABCD学生归纳判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形你能用几种方法证明这个命题呢?如图，将两根细木条AC、BD的中心重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD，转动两根木条，它一直是一个平行四边形吗？你能证明吗？你又能得到什么结论？对角线互相平分的四边形是平行四边形你也试一试几何语言：∵OA=OC,OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形ODACB已知：在四边形ABCD中，AO=OC,OB=OD求证：四边形ABCD是平行四边形证明思路：⊿AOB≌⊿COD（SAS）⊿BOC≌⊿DOA(SAS)AB∥CDBC∥AD四边形ABCD是平行四边形如图，四边形ABCD，AC、BD相交于点O,若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD是__________,根据是_____________________两条对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形ABCDO如图，四边形ABCD中，AB//CD,且AB=CD,则四边形ABCD是___________,理由是____________________________ABCD平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形用两根长为40cm的木条和两根长30cm的木条作为四边形的四条边，能否拼成一个平行四边形？小明拼成的四边形如图所示，图中的四边形ABCD是平行四边形吗？ADCB求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形自主探索独立作业独立作业已知：四边形ABCD,∠A=∠C，∠B=∠D求证：四边形ABCD是平行四边形证明：∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)同理可证AB∥CD又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°∴2∠A+2∠B=360°∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知）即∠A+∠B=180°∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）ABCD两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形的判定定理4:符号语言：ABCD∵∠A=∠C，∠B=∠D∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）请你谈一谈学习了本节课你有哪些收获？ABCDO两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；AD∥BCAB∥DCAD=BCAB=DC∠BAD=∠BCD∠ABC=∠ADC四边形ABCD是平行四边形如图，用符号表示如下：平行四边形有哪些判定方法？对角线互相平分的四边形是平行四边形。OA=OCOB=OD两组对边分别相等的四边形是平行四边形；四边形ABCD是平行四边形四边形ABCD是平行四边形四边形ABCD是平行四边形从边看:平行四边形的四个判定方法两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等的四边形是平行四边形从对角线看:两组对角线互相平分两组对边分别相等两组对角分别相等对角线互相平分两组对边分别平行一组对边平行且相等四边形是平行四边形边角对角线：平行四边形的判定方法共有几种？已知一条线段AC，以线段AC为一条对角线，在线段AC的一侧有一点B，你能在线段AC的另一侧找到一点D，使得ABCD为平行四边形吗？ACBACBD作法1：(1)连结AB,BC(2)以C点为圆心，以AB长度为半径作弧，再以A点为圆心，以BC长度为半径作弧。(3)两个弧交于D点ACBDO作法2：（1）取AC中点O（2）连结BO并延长D，使BO=OD（3）连结AD,CD，AB,BCDABC（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形DABC两组对边分别相等的四边形是平行四边形？猜想，对吗？DABCDABC两组对角分别相等的四边形是平行四边形？猜想，对吗？DOABC对角线互相平分的四边形是平行四边形？猜想，对吗？请你识别下列四边形哪些是平行四边形?为什么？ADCB110°70°110°⑴⑷⑶ABCD120°60°5㎝5㎝ABCDOBADC4.8㎝4.8㎝⑵7.6㎝7.6㎝两组对边分别相等两组对角分别相等对角线互相平分两组对边分别平行一组对边平行且相等四边形是平行四边形边角对角线：平行四边形的判定方法共有几种？思考（1）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形吗？（2）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形吗？使学生明白假命题应举反例说明。两道练习一方面求同，另一方面求异，提高学生素质能力。ＡＢＣＤ一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形吗？CABE△ABE为等腰三角形作△DCA≌△EAC∴∠B=∠E=∠DAB=AE=DC显然,四边形ABCD不是平行四边形.D.有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形吗？不一定。如右图一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？不一定。如等腰梯形。如图，四个全等三角形拼成一个大的三角形，找出图中所有的平行四边形，并说明理由。1、已知在四边形ABCD中，AD∥BC，要使这个四边形为平行四边形，则需添加一个你认为正确的条件为()AB∥DC，或∠A=∠C或AD=BC2、能判定一个四边形是平行四边形的条件是（）。A、一组对角相等B、一组对边平行且相等C、一对邻角互补D、两条对角线互相垂直B3、四边形ABCD中，若∠A=∠C，∠B=∠D，则下列结论中错误的是（）。CA、AB=CDB、AD∥BCC、∠A=∠BD、对角线互相平分随堂练习•已知:如图,在□ABCD中,BF=DE.•求证:四边形AECF是平行四边形.EFDCBA知识运用AEDCFB方法一:利用两三角形全等方法二:利用平行四边形对边相等如图，ABCD中，点E、F分别在AB、CD上且DF=BE。四边形DEBF是平行四边形吗？说说理由。DABCEF（1）如图：平行四边形ABCD，点E、F分别在AD、BC上，且DE=BF，连结CE、AF．求证：四边形AFCE是平行四边形．ＢＦＡＣＤＥ（1）（2）已知：在平行四边形ABCD中，E、F是BD上的两点，且BE=DF.求证：四边形AECF是平行四边形EADCBF（2）培养学生思维多向性，巩固新知。基础训练：例1：已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF.DABCEF大显身手求证：四边形BFDE是平行四边形7例1：已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF.DOABCEF证明：连接BD，交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=CO，BO=DO∵AE=CF∴AO-AE=CO-CF即EO=FO又∵BO=DO∴四边形BFDE是平行四边形大显身手求证：四边形BFDE是平行四边形14例已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别为OA、OC中点，求证：四边形BEDF是平行四边形。证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA＝OC，OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）∵E、F分别为OA、OC中点∴OE＝OA，，OF＝OC而OA＝OC∴OE＝OF又OB＝OD∴四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）2121爱动脑筋的你一定能用多种方法证明哦！CADBEHFOG已知：平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF，求证：四边形BEDF是平行四边形。还可以是：①AF＝CE②∠ADE＝∠CBF③∠CDE＝∠ABF④BE⊥AC，DF⊥AC……若将“E、F分别为OA、OC中点”改为“AE＝CF”，四边形BEDF还是平行四边形吗？试试看：你还能怎样改？ADBCOEF变式1：已知：如图，E，F是ABCD的对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF求证：四边形AECF是平行四边形。ABCDEFO变式2:已知：如图,ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F。求证：四边形AECF是平行四边形ABCDEF已知：平行四边形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点,并且OE=OF。问：1)OA与OC,OB与OD大小关系如何？2)四边形BFDE是平行四边形吗？能说说理由吗？DABCEFO随堂练习•已知:如图,AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,•求证:AE=CF.ABCDEFO已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形DABCEF改一改，证一证独立作业独立作业BE∥DF拓展延伸若例1中的条件:E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF改为E、F是平行四边形ABCD对角线AC延长线上两点，并且AE＝CF。其它条件不变，四边形BFDE是平行四边形吗？请同学们画出图形并证明。实践应用例2:如图，在ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE=CF，连结CE和AF，试说明四边形AFCE是平行四边形。DACBFEO试一试：已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，点E,G,F,H分别是AO，BO，CO，DO的中点，第1问：以图中标有字母的点为顶点，你能画出几个平行四边形？FEGH0CABD四、灵活应用新知FEGH0CABDFEGH0CABDFEGH0CDBA第2问：你能否验证图中所得到的新的四边形是平行四边形吗？图（1）图（2）图（3）已知：平行四边形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点四边形是平行四边形吗？说说你的理由。DOABCEFHG1)1,D(),2,3C(1),1,B(),2,3A(如图四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明.ABCDxyo-1-1112233)关于原点O对称2,3C(与)2,3A(对称原点O关于与1)1,D(1)1,B(∴Ｏ平分ＡＣ，Ｏ平分Ｂ