圆锥曲线—定点、定值专项训练题

圆锥曲线—定点、定值专项训练题1．过抛物线y=ax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则qp11等于（）A．2aB．a21C．4aD．a4【答案】C【解析】试题分析：y=ax2化为标准形式即21xya，其焦点为（0，14a）。解答此题可利用极限（端）思想，假定PQ垂直于抛物线的轴，将14ya代入方程得12xa，即12pqa，故qp11=4a。若直接解答，方法多种，均较为复杂。故选C。考点：本题主要考查抛物线的标准方程、几何性质，考查直线与抛物线的位置关系。点评：解答此题利用极限（端）思想，从而达到了化难为易，化繁为简的目的。20．已知椭圆2221(5)25xyaa的两焦点分别是1F，2F，且∣12FF∣=8,弦AB过1F，则2ABF的周长是（）A.10B.20C.241D.441【答案】D【解析】试题分析：设半焦距是c，则有2c=|12FF|=8，c=4，222abc=41，a=41求三角形AB2F的周长，只需把AB分成1AF，1FB1AF+A2F＝2a，B1F+B2F＝2a所以2ABF的周长是441。故选D。考点：主要考查椭圆的定义。点评：注意分析图形特征，正确运用椭圆定义。此类题为常考题目。48．P是双曲线22221(00)xyabab，左支上的一点，12FF，为其左、右焦点，且焦距为2c，则12PFF△的内切圆圆心的横坐标为．【答案】a【解析】试题分析：由已知，双曲线两焦点为12(,0)FFc(-c,0)，。设12PFF△的内切圆圆心为'(,)Oxy，过'O分别作1PF，212,PFFF的垂线，垂足分别为E,F,G，由双曲线定义平面几何知识得21212||||||||aPFPFFGFG=()()cxcx=2x，所以xa，即12PFF△的内切圆圆心的横坐标为a。考点：主要考查双曲线的定义、几何性质以及三角形内切圆的性质。点评：本题综合考查了双曲线的定义、几何性质以及三角形内切圆的性质，是一道几何“味”十足的解析几何题，意在引导考生，注重借助于“形”解决解析几何问题。49．若椭圆221(0)xymnmn和双曲线221(0)xyabab有相同的焦点12FF，，点P是两条曲线的一个交点，则12PFPF·的值为．【答案】ma【解析】试题分析：因为椭圆221(0)xymnmn和双曲线221(0)xyabab有相同的焦点12FF，，点P是两条曲线的一个交点，所以由椭圆、双曲线定义得到12||||||2PFPFm，12||||||PFPF=2a，两式两边分别平方并相减得12|||||PFPFma。考点：本题考查圆锥曲线的共同特征，考查了椭圆与双曲线的定义。点评：解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，根据椭圆和双曲线的定义，12||||||2PFPFm，12||||||PFPF=2a，两式两边分别平方并相减得整理得到结论12|||||PFPFma59．（12分）设1F,2F是椭圆22194xy的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P,1F,2F是一个直角三角形的三个顶点且12PFPF,求12PFPF的值.【答案】722或【解析】试题分析：由已知12PFPF，12PFPF=6，12FF=25，若21PFF为直角，则由2221212||PFPFFF可得1143PF，2PF=43，此时，12PFPF=72；若21FPF为直角，则由2221212||PFPFFF可得14PF，2PF=2，此时，12PFPF=2；综上知12PFPF的值为722或。考点：主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质。87．已知椭圆2222:10xyCabab的两个焦点12,FF和上下两个顶点12,BB是一个边长为2且∠F1B1F2为60的菱形的四个顶点.（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F2，斜率为k（0k）的直线l与椭圆C相交于,EF两点，A为椭圆的右顶点，直线AE、AF分别交直线3x于点M、N，线段MN的中点为P，记直线2PF的斜率为k.求证:kk为定值.【答案】(1)22143xy；（2）kk为定值34.【解析】试题分析：(1)由椭圆两个焦点12,FF和上下两个顶点12,BB是一个边长为2且∠F1B1F2为60的菱形的四个顶点可得2,3ab，从而得到椭圆方程.（2）通过题目条件，将直线l方程设出来，再将它与椭圆交点坐标设出来，即点11(,)Exy，点22(,)Fxy，再分别表示出直线AE、AF的方程，令3x，得到点M,N，的坐标，再利用中点坐标公式得到线段MN的中点为P的坐标，利用斜率公式即得到k，通过联立直线l与椭圆方程，用韦达定理替换11,xy，22,xy，化简之后即可证明kk为定值.本题利用“设而不求”达到证明的目的，充分利用韦达定理消去繁杂的未知数.这是解决带有直线与圆锥曲线交点问题的常用的手段.试题解析：(1)由条件知2,3ab，2分故所求椭圆方程为22143xy.4分XYPMNF1F2OAB1EFB2（2）设过点(1,0)P的直线l方程为：(1)ykx，设点11(,)Exy，点22(,)Fxy，将直线l方程(1)ykx代入椭圆C：22143xy，整理得：2222(43)84120kxkxk，6分因为点P在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，0恒成立，且221212228412,,4343kkxxxxkk8分直线AE的方程为：11(2)2yyxx，直线AF的方程为：22(2)2yyxx，令3x，得点11(3,)2yMx，22(3,)2yNx，所以点P的坐标12121(3,())222yyxx.9分直线2PF的斜率为121212121()02221()31422yyxxyykxx.21211212122()142()4yxxyyyxxxx1212121223()4142()4kxxkxxkxxxx.11分将221212228412,4343kkxxxxkk代入上式得：222222224128234134343412844244343kkkkkkkkkkkkk.所以kk为定值34.14分100．已知点M是椭圆C：22221xyab(0)ab上一点，12,FF分别为C的左右焦点12||4FF，01260FMF，12FMF的面积为433.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设(0,2)N，过点(1,2)P作直线l，交椭圆C异于N的,AB两点，直线,NANB的斜率分别为12,kk，证明：12kk为定值.【答案】（Ⅰ）22184xy；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：本题考查椭圆的定义、余弦定理及韦达定理的应用.第一问是利用三角形面积公式、余弦定理、椭圆的定义，三个方程联立，解出a，再根据,,abc的关系求b，本问分析已知条件是解题的关键；第二问是直线与椭圆相交于,AB两点，先设出,AB两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在，此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.试题解析：（Ⅰ）在12FMF中，由012143||||sin6023MFMF，得1216||||3MFMF．由余弦定理，得2220121212||||||2||||cos60FFMFMFMFMF201212(||||)2||||(1cos60)MFMFMFMF，从而122||||42aMFMF，即22a，从而2b，故椭圆C的方程为22184xy．6分（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为2(1)ykx，由221842(1)xyykx，得222(12)4(2)280kxkkxkk．8分设11(,)Axy，22(,)Bxy，1224(2)12kkxxk，21222812kkxxk．从而1212121221212222(4)()4(2)2(4)428yykxxkxxkkkkkkxxxxkk．11分当直线l的斜率不存在时，得1414(1,),(1,)22AB，得124kk．综上，恒有124kk．12分考点：1.椭圆的定义；2.韦达定理；3.直线的斜率.64．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知1(4,0)F，2(4,0)F，(0,8)A，直线(08)ytt与线段1AF、2AF分别交于点P、Q.（1）当3t时，求以12,FF为焦点，且过PQ中点的椭圆的标准方程；（2）过点Q作直线1QRAF交12FF于点R，记1PRF的外接圆为圆C.①求证:圆心C在定直线7480xy上；②圆C是否恒过异于点1F的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.【答案】(1)221259xy(2)①略②432(,)1313.【解析】试题分析：(1)根据题意，3b，4c，求出a，可得到方程；(2)①解法一：根据题意写出RQP,,的坐标，线段11PFRF、的中垂线的交点就是圆心，将圆心坐标代入PAROF1QxyF27480xy中，可得证；解法二：设出一般方程，将RQP,,三点的坐标代入，联立求解；②根据①，写出圆系方程227(216)(4)04xyytxy，联立方程2241607404xyyxy解得该定点.试题解析：(1)设椭圆的方程为22221(0)xyabab,当3t时,PQ的中点为(0,3)，则3b1分而2216ab,所以225a，2分故椭圆的标准方程为221259xy3分(Ⅱ)①解法一:易得直线1:28AFyx，直线2:28AFyx可得88(,),(,)22ttPtQt,再由1QRAF,得(4,0)Rt5分则线段1FR的中垂线方程为2tx,6分线段1PF的中垂线方程为151628tyx,7分由1516282tyxtx,8分解得1PRF的外接圆的圆心坐标为7(,2)28tt9分经验证,该圆心在定直线7480xy上10分②由①可得圆C的方程为227(4)41604xytxtyt11分该方程可整理为227(216)(4)04xyytxy,则由2241607404xyyxy,解得4133213xy或40xy,13分所以圆C恒过异于点1F的一个定点,该点坐标为432(,)131314分解法二:易得直线1:28AFyx，直线2:28AFyx5分所以可得88(,),(,)22ttPtQt,6分再由1QRAF,得(4,0)Rt7分设1PRF的外接圆C的方程为220xyDxEyF,则2222(4)(4)0(4)4088()022ttDFyDFtttDtEF,8分解得圆心坐标为7(,2)28tt,9分经验证,该圆心在定直线7480xy上10分②由①可得圆C的方程为227(4)41604xytxtyt11分该方程可整理为227(216)(4)04xyytxy,则由2241607404xyyxy,解得4133213xy或40xy,13分所以圆C恒过异于点1F的一个定点,该点坐标为432(,)131314分考点：椭圆的定义及基本性质，三角形外接圆.68．在平面直角坐标系中，已知定点A（－2，0）、B（2，0），异于A、B两点的动点P满足121.4kk，其中k1、k2分别表示直线AP、BP的斜率．（Ⅰ）求动点P的轨