高考数学高考必会题型专题7解析几何第34练圆锥曲线中的探索性问题

教育资源题型一定值、定点问题例1已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1经过点(0，3)，离心率为12，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且MA→＝λAF→，MB→＝μBF→，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由．破题切入点(1)待定系数法．(2)通过直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA→＝λAF→，MB→＝μBF→.把λ，μ用点A，B的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值．解(1)依题意得b＝3，e＝ca＝12，a2＝b2＋c2，∴a＝2，c＝1，∴椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)因直线l与y轴相交于点M，故斜率存在，又F坐标为(1,0)，设直线l方程为y＝k(x－1)，求得l与y轴交于M(0，－k)，设l交椭圆A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝kx－1，x24＋y23＝1，消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，∴x1＋x2＝8k23＋4k2，x1x2＝4k2－123＋4k2，又由MA→＝λAF→，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)，∴λ＝x11－x1，同理μ＝x21－x2，∴λ＋μ＝x11－x1＋x21－x2＝x1＋x2－2x1x21－x1＋x2＋x1x2＝8k23＋4k2－24k2－123＋4k21－8k23＋4k2＋4k2－123＋4k2＝－83.所以当直线l的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－83.题型二定直线问题教育资源例2在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2＝2py(p0)相交于A，B两点．(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．破题切入点假设符合条件的直线存在，求出弦长，利用变量的系数恒为零求解．解方法一(1)依题意，点N的坐标为N(0，－p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋p，与x2＝2py联立得x2＝2py，y＝kx＋p.消去y得x2－2pkx－2p2＝0.由根与系数的关系得x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2.于是S△ABN＝S△BCN＋S△ACN＝12·2p|x1－x2|＝p|x1－x2|＝px1＋x22－4x1x2＝p4p2k2＋8p2＝2p2k2＋2，∴当k＝0时，(S△ABN)min＝22p2.(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a，AC的中点为O′，l与以AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，则O′H⊥PQ，Q′点的坐标为(x12，y1＋p2)．∵O′P＝12AC＝12x21＋y1－p2＝12y21＋p2，O′H＝a－y1＋p2＝12|2a－y1－p|，∴PH2＝O′P2－O′H2＝14(y21＋p2)－14(2a－y1－p)2＝(a－p2)y1＋a(p－a)，∴PQ2＝(2PH)2＝4[(a－p2)y1＋a(p－a)]．令a－p2＝0，得a＝p2，此时PQ＝p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y＝p2，即抛物线的通径所在的直线．教育资源方法二(1)前同方法一，再由弦长公式得AB＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋k2·4p2k2＋8p2＝2p1＋k2·k2＋2，又由点到直线的距离公式得d＝2p1＋k2.从而S△ABN＝12·d·AB＝12·2p1＋k2·k2＋2·2p1＋k2＝2p2k2＋2.∴当k＝0时，(S△ABN)min＝22p2.(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a，则以AC为直径的圆的方程为(x－0)(x－x1)－(y－p)(y－y1)＝0，将直线方程y＝a代入得x2－x1x＋(a－p)(a－y1)＝0，则Δ＝x21－4(a－p)(a－y1)＝4[(a－p2)y1＋a(p－a)]．设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则有PQ＝|x3－x4|＝4[a－p2y1＋ap－a]＝2a－p2y1＋ap－a.令a－p2＝0，得a＝p2，此时PQ＝p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y＝p2，即抛物线的通径所在的直线．题型三定圆问题例3已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12，圆Ck：x2＋y2＋2kx－4y－21＝0(k∈R)的圆心为点Ak.(1)求椭圆G的方程；(2)求△AkF1F2的面积；(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由．教育资源破题切入点(1)根据定义，待定系数法求方程．(2)直接求．(3)关键看长轴两端点．解(1)设椭圆G的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，半焦距为c，则2a＝12，ca＝32，解得a＝6，c＝33，所以b2＝a2－c2＝36－27＝9.所以所求椭圆G的方程为x236＋y29＝1.(2)点Ak的坐标为(－k,2)，S△AkF1F2＝12×|F1F2|×2＝12×63×2＝63.(3)若k≥0，由62＋02＋12k－0－21＝15＋12k0，可知点(6,0)在圆Ck外；若k0，由(－6)2＋02－12k－0－21＝15－12k0，可知点(－6,0)在圆Ck外．所以不论k为何值，圆Ck都不能包围椭圆G.即不存在圆Ck包围椭圆G.总结提高(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．(3)定直线问题一般都为特殊直线x＝x0或y＝y0型．1．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量OP→＋OQ→与AB→共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．解(1)由已知条件，得直线l的方程为y＝kx＋2，代入椭圆方程得x22＋(kx＋2)2＝1.整理得(12＋k2)x2＋22kx＋1＝0.①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4(12＋k2)＝4k2－20，解得k－22或k22.即k的取值范围为(－∞，－22)∪(22，＋∞)．(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，教育资源则OP→＋OQ→＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①，得x1＋x2＝－42k1＋2k2.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋22.③而A(2，0)，B(0,1)，AB→＝(－2，1)．所以OP→＋OQ→与AB→共线等价于x1＋x2＝－2(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k＝22.由(1)知k－22或k22，故不存在符合题意的常数k.2．已知双曲线方程为x2－y22＝1，问：是否存在过点M(1,1)的直线l，使得直线与双曲线交于P、Q两点，且M是线段PQ的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由．解显然x＝1不满足条件，设l：y－1＝k(x－1)．联立y－1＝k(x－1)和x2－y22＝1，消去y得(2－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－3＝0，由Δ0，得k32，x1＋x2＝2k－k22－k2，由M(1,1)为PQ的中点，得x1＋x22＝k－k22－k2＝1，解得k＝2，这与k32矛盾，所以不存在满足条件的直线l.3．设椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a，b0)过M(2，2)，N(6，1)两点，O为坐标原点．(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA→⊥OB→？若存在，写出该圆的方程，并求AB的取值范围；若不存在，请说明理由．解(1)因为椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a，b0)过M(2，2)，N(6，1)两点，所以4a2＋2b2＝1，6a2＋1b2＝1，解得1a2＝18，1b2＝14，所以a2＝8，b2＝4，椭圆E的方程为x28＋y24＝1.教育资源(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA→⊥OB→，设该圆的切线方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，解方程组y＝kx＋m，x28＋y24＝1得x2＋2(kx＋m)2＝8，即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)0，即8k2－m2＋40.故x1＋x2＝－4km1＋2k2，x1x2＝2m2－81＋2k2，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝k22m2－81＋2k2－4k2m21＋2k2＋m2＝m2－8k21＋2k2.要使OA→⊥OB→，需使x1x2＋y1y2＝0，即2m2－81＋2k2＋m2－8k21＋2k2＝0，所以3m2－8k2－8＝0，所以k2＝3m2－88≥0.又8k2－m2＋40，所以m22，3m2≥8，所以m2≥83，即m≥263或m≤－263，因为直线y＝kx＋m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r＝|m|1＋k2，r2＝m21＋k2＝m21＋3m2－88＝83，r＝263，所求的圆为x2＋y2＝83，此时圆的切线y＝kx＋m都满足m≥263或m≤－263，而当切线的斜率不存在时切线为x＝±263与椭圆x28＋y24＝1的两个交点为(263，±263)或(－教育资源263，±263)满足OA→⊥OB→，综上，存在圆心在原点的圆x2＋y2＝83，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA→⊥OB→.4．(2014·重庆)如图，设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，F1F2DF1＝22，△DF1F2的面积为22.(1)求该椭圆的标准方程．(2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．解(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.由F1F2DF1＝22，得DF1＝F1F222＝22c，从而S△DF1F2＝12DF1·F1F2＝22c2＝22，故c＝1，从而DF1＝22.由DF1⊥F1F2，得DF22＝DF21＋F1F22＝92，因此DF2＝322.所以2a＝DF1＋DF2＝22，故a＝2，b2＝a2－c2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.(2)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆x22＋y2＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2＝－x1，y1＝y2.由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，所以F1P1→＝(x1＋1，y1)，F2P2→＝(－x1－1，y1)，教育资源再由F1P1⊥F2P2，得－(x1＋1)2＋y21＝0.由椭圆方程得1－x212＝(x1＋1)2，即3x21＋4x1＝0，解得x1＝－43或x1＝0.当x1＝0时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在．当x1＝－43时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.设C(0，y0)，由CP1⊥F1P1，得y1－y0x1·y1