电子科技大学-随机过程-覃思义-第四章sjgc4.5-1

电子科技大学§4.5随机过程的均方积分（一）本节主要介绍黎曼意义下的均方积分概念一、均方积分概念定义4.5.1设{X(t),t∈[a,b]}是二阶矩过程,f(t),t∈[a,b]是普通函数,任意取分点a=t0t1…tn=b,将区间[a,b]分成n个小区间,做和电子科技大学nknkkkkkkkkttXtftttXtf11**1**)()())(()(.,2,1],,[1*nktttkkk其中)(max11kknktt记若均方极限nkkkkttXtf1**0)()(i.m.l存在,且与区间[a,b]的分法及t*的取法无关,称为二阶矩过程f(t)X(t)在[a,b]上的黎曼均方积分,记为电子科技大学badttXtf)()(特别当f(t)≡1,t∈[a,b]则badttX)(nkkkktttX11*0))((i.m.l称为随机过程{X(t),t∈[a,b]}在[a,b]上的均方积分.定义4.5.2设{X(t),t∈[a,b]}是二阶矩过程,f(t),t∈[a,b]是普通函数,任意取分点a=t0t1…tn=b,将区间[a,b]分成n个小区间,若均方极限电子科技大学])()()[(l.i.m11*0nkkkktXtXtf()()baftdXt存在,且与区间[a,b]的分法及t*的取法无关,称为二阶矩过程f(t)对X(t)在[a,b]上的黎曼—斯蒂阶均方积分,记为电子科技大学])()()[(l.i.m1110nkkkktWtWtX存在,且与区间[a,b]的分法无关.则称此均方为X(t)关于维纳过程的伊藤积分.记为()()baXtdWt定义4.5.3设{X(t),t∈[a,b]}是二阶矩过程,W(t)是维纳过程,任意取分点a=t0t1…tn=b,将区间[a,b]分成n个小区间,若均方极限电子科技大学二、均方积分准则设{X(t),t∈[a,b]}是二阶矩过程,f(t)是普通函数,f(t)X(t)在[a,b]上均方可积的充分必要条件是二重积分定理4.5.1babadsdttsRtfsf),()()(存在,其中R(s,t)是X(t)的自相关函数..电子科技大学证充分性),()()(tsRtfsf若的二重积分存在,对[a,b]×[a,b]的任意分割a=t0t1…tn=b,a=s0s1…sm=b及任意),,2,1,,,2,1(],,(],(),(11**njmkttsstsjjkkjkbabadsdttsRtfsf),()()(有mknjjkjkjktststsRtfsf11****00),()()(lim电子科技大学存在,其中Δsk=sk－sk－1,max1kmkSs,max1jnjttΔtj=tj－tj－1,mknjjkjjkktststXtfsXsfE11****00])()()()([lim上式mknjjjjkkktsttXtfssXsfE11****00])()()()([lim电子科技大学])()()()([lim1**1**00njjjjmkkkktsttXtfssXsfE由均方收敛准则知nkkkkttXtf1**0)()(i.m.l存在，即f(t)X(t)在[a,b]上均方可积.必要性由洛易夫判别准则,若均方积分badttXtf)()(存在,则下列极限存在,且电子科技大学])()()()([lim1**1**00njjjjmkkkktsttXtfssXsfE])()()()([babadttXtfdssXsfEbabadsdttXsXEtfsf])()([)()(babadsdttsRtfsf),()()(]))()([(2badttXtfE电子科技大学注1有书认为必要性不成立，但未举出反例.注2babadsdttsRtfsf),()()(])()([2badttXtfE若{X(t),t∈[a,b]}的自相关函数R(s,t)在[a,b]×[a,b]上可积,则X(t)在[a,b]上均方可积推论1实际推出重要公式])([2badttXEbabadsdttsR),(重要公式电子科技大学推论2若X(t)在[a,b]上均方连续,则X(t)在[a,b]上均方可积.证根据均方连续性准则，{X(t),t∈[a,b]}均方连续，X(t)的自相关函数R(s,t)在[a,b]×[a,b]上连续，定理4.3.1之推论R(s,t)在[a,b]×[a,b]上可积，推论1X(t)在[a,b]上均方可积.电子科技大学EX.1设X(t)=Acosat+Bsinat,t≥0,a为常数a≠0,A与B相互独立,均服从N(0,σ2),判断X(t)是否均方可积.,0sin)(cos)()(atBEatAEtmX解RX(s,t)=E[X(s)X(t)]=E[A2cosas·cosat+B2sinas·sinat]=σ2cosa(t－s).在[0,+∞]×[0,+∞]上连续,故X(t)对所有t≥0均方连续,从而均方可积.电子科技大学定义4.5.3广义黎曼均方积分定义为babadttXtfdttXtf)()(l.i.mˆ)()(推论3存在的充分必要条件是广义二重积分广义均方积分adttXtf)()(aadsdttsRtfsf),()()(存在且有限.三、均方积分性质电子科技大学定理4.5.2均方积分具有以下性质1）均方积分惟一性,)()(1YdttXtfba2)()(YdttXtfba..).(21eaYY则2)线性性质若X(t),Y(t)在[a,b]上均方可积,则对C,badttYtgtXtf)]()()()([()()()()bbaaftXtdtgtYtdt若电子科技大学特别有badttYtX)]()([babadttYdttX)()(3）可加性cadttXtfbca)()(,若设,)()(存在及bcdttXtfbadttXtf)()(则cadttXtf)()(bcdttXtf)()(以上各条性质类似于普通黎曼积分.4）设X(t)在[a,b]均方连续,则babadttXdttX;)()(电子科技大学证由定理4.5.1之推论1])([2badttXEbabadsdttsR),(babadsdttXsXE])()([babadsdttsR),(babadsdttXEsXE2122)])(())(([2212})])(([{badttXE2})({badttX许瓦兹不等式电子科技大学若f(t)X(t)在[a,b]上均方可积,则有定理4.5.3均方积分的矩])()([)1badttXtfEbaXdttmtf)()(])()([)22badttXtfEbabadsdttsRtfsf),()()(定理4.5.1之注2证1)])()([badttXtfE])()(i.m.l[**0kkkkttXtfEkkkkttXtfE])()([lim**0电子科技大学kkkkttXEtf)]([)(lim**0kkkXkttmtf)()(lim**0baXdttmtf)()(续EX.1设X(t)=Acosat+Bsinat,t≥0,a为常数a≠0,A与B相互独立,均服从N(0,σ2),令,)(20dssXY计算E(Y)和D(Y).,0)]([)(20dssXEYE解电子科技大学dudvvuRYEYEYEYDX2020222),()()()()(dudvvua20202)(cos)2cos1(222aa电子科技大学EX.2设A,B相互独立同分布于N(0,σ2),X(t)=At+B,t∈[0,1],试求下列随机变量的数学期望.10(),ZXtdt120(),YXtdt,0)()()]([BEtAEtXE解]2[)]([2222BABtAEtXE)1()()(2)()(22222tBEAEBEtAE10[][()]0,EZEXtdt电子科技大学120[][()]EYEXtdt10222.34)1(dttEX.3设随机过程{X(t),t∈T}的协方差函数为.22121)1(),(ttttCX试求的协方差函数与方差函数sdttXsY0)()(解121122(,){[()(())][()(())]}YCssEYsEYsYsEYs1212{[()()][(()][(()]EYsYsEYsEYs电子科技大学1212121211220000(,)()()ssssXXXRttdtdtmtdtmtdt)()(),(2121smsmssRYYY1212121200[(,)()()]ssXXXRttmtmtdtdt20102112),(dtdtttCssX)),((21ssCY)411()1(21212201202112ssssdtdtttss)411(),()(222ssssCsDYY积分过程的协方差计算公式