电子科技大学-随机过程-覃思义-第四章sjgc4.5-2

04。10。14电子科技大学§4.5随机过程的均方积分（二）四、均方不定积分定义4.5.4设X(t)在[a,b]在上均方连续,],,[bat称为X(t)在[a,b]上的均方不定积分.tadssXtY)()(设X(t)在[a,b]上均方连续,则其在[a,b]上的均方不定积分Y(t)在[a,b]上均方可导,且定理4.5.404。10。14电子科技大学);()()1tXtY,)]([)]([)2tadssXEtYE;)()(taXYdssmtm.),(),()3sataXYdudvvuRtsR(牛顿-莱布尼兹公式)设X(t)在[a,b]上均方可导,定理4.5.5均方连续，则有)(tXbaaXbXdttX)()()(04。10。14电子科技大学均方连续证)(tXtadssXtY)()(),()(tXtY且上均方可导在,],[ba定理4.5.4之1）],,[,0)()(])()([battXtYtXtYXtXtY)()(与t无关的随机变量],,[,)()(batXtXtY,0)()(,aYXaXat得令04。10。14电子科技大学)(aXX.)()()()(baaXbXbYdttXEX.4设{W(t),t≥0}为参数为σ2的维纳过程,求积分过程,0,)()(0tdssWtXt的均值函数和相关函数.00()[()][()]0ttXmtEWsdsEWsds解，04。10。14电子科技大学dudvvuRtsRstWX00),(),(设s≤tdudvvust002),min(stuvu=v),(tsRXdvvudusu002),min(dvvudustu02),min(stusuudvdvvdu0200204。10。14电子科技大学)3(622sts由s与t的对称性2222(3),0;6(,)(3),06XstsstRsttstts维纳过程是均方连续,均方不可导,均方可积的二阶矩过程.04。10。14电子科技大学EX.5设随机微分方程为],,[)(),()(.0batXaXtYtX其中,Y(t)是一个已知的均方连续二阶矩过程，求X(t),并求其数字特征.解直接积分并代入初始条件,得tadssXaXtX)()()(tadssYX)(004。10。14电子科技大学taYXdssmXEtm,)()()(000(,){[()][()]}stXaaRstEXYuduXYvdv2000[][()][()]tsaaEXEXYvdvEXYudu(,).stYaaRuvdudv04。10。14电子科技大学EX.6验证过程(*))()()()(0dsesXeYtYtstataduuduu是一阶线性微分方程0)()()()()(YaYtXtYttY的解.其中{X(t),t∈[a,+∞)是均方连续二阶矩过程,Y0是二阶矩随机变量,β(t)是普通函数.解显然有边界值Y(a)=Y0,04。10。14电子科技大学对(*)式两边求均方导数ttstattadsesXeYtYduuduu])([][)()()(0tsatatatadsesXeetYduuduuduu])([)()()()(0)()()()(tasatsduuduuduueetatasatatataduuduuduuduuduuetXedsesXetetY)()()()()()()()()(0)()()(tXtYt04。10。14电子科技大学如RC积分电路的输出电压Y(t)输入电压X(t)的关系由方程0)0()()()(YtXtYtY描述,则输出电压为dsesXtYtstadu)()(dsesXstta)()(.0,)(tdsesXestta.0,)()(tdsetmetmsttaXY而且04。10。14电子科技大学均方可导均方连续均方可积逆均不真二阶矩过程的极限、连续、导数、积分，其统计特征主要由相关函数表征.04。10。14电子科技大学五、正态随机过程的均方微积分(实值)正态过程是重要的二阶矩过程,常见正态过程的导数或积分问题.正态随机变量序列的均方极限仍为正态分布随机变量.即若{Xn,n≥1}为正态随机变量序列,l.i.mXXnn则X是正态随机变量.定理4.4.604。10。14电子科技大学,)(）（记证njtXneEtf),()(jtXeEtf),(),(XEaXEann),(),(22XDXDnn由均方收敛性质,l.i.mXXnn,limaann,lim22nn)(lim)(tftfnn04。10。14电子科技大学,lim22222121tjtatjtaneenn).,(2aNX服从即m维正态随机向量序列),,,()()(2)(1nmnnXXX的均方极限仍为m维正态随机向量,即若miXXinin,,2,1,l.i.m)(.),,,(21维正态随机向量是则mXXXm定理4.4.704。10。14电子科技大学设{X(t),t∈T}为一个正态过程,且在T上均方可微,则其导数过程也是正态过程.}),({TttX证对于任意m≥1，任取t1,t2,…,tm∈T,m维正态随机向量的线性变换仍为正态随向量，ttXttXttXttXmm)()(,,)()(11仍为m维正态随机向量,当定理4.4.804。10。14电子科技大学mktXttXttXkkkt,,2,1),()()(l.i.m0由定理4.4.7知))(,),(),((21mtXtXtX是m维正态随机向量，.}),({是正态过程TttX若{X(t),t∈[a,b]}是均方连续的正态过程,则],(,)()(batdssXtYta也是正态过程.定理4.4.904。10。14电子科技大学证在(a,b)上任取t1,t2,…,tn,对每一个子区间(a,tk)进行分割：,)()(1)(0kknkktsssak)(max)(1)(1krkrnrkssk记,)())(()(1)(1)(krkrnkkrssuXk则),()()(1)(krkrkrssu是正态随机变量，且ktakdssXtY)()(04。10。14电子科技大学k=1,2,…,n,)())((l.i.m)(1)(1)(krkrnkkrnssuXk由定理4.4.7知))(,),(),((21mtYtYtY是m维正态随机向量，.]},[),({是正态过程battY思考题：均方微积分是否具有普通函数微积分的所有性质,为什么？04。10。14电子科技大学研究对象：二阶矩过程基本概念：均方极限的定义重要结论：洛易夫均方收敛判别准则定理(洛易夫均方收敛准则)X(t)在t0处收敛的充分必要条件是极限))()((lim0,tXsXEtts存在.由此导出：04。10。14电子科技大学基本方法：利用洛易夫定理，将过程的均方微积分转换为相应的自相关函数的微积分研究.均方连续准则；均方可微准则；均方积分准则.