电子科技大学-随机过程-覃思义-第五章sjgc5.1

电子科技大学第五章平稳随机过程§5.1平稳随机过程的概念§5.2平稳过程的自相关函数§5.3平稳过程的各态历经性§5.4平稳过程的谱分析简介电子科技大学§5.1平稳随机过程的概念上一章对于二阶矩过程,主要是针对过程的均值函数和相关函数两个数字特征,进行概率性质的讨论.平稳过程是一类其概率特征不随时间推移的随机过程，在过程理论和应用中有特殊地位和作用。本章重点讨论特殊的二阶矩过程—(宽)平稳过程.电子科技大学一、严平稳过程一类过程,具有平稳性,即它的统计特性不随时间的推移而改变,它的当前变化情况与过去的情况有不可忽视的联系.定义5.4.1{X(t)t∈T}是实随机过程,若对n＞1,t1,t2,…,tn∈T和实数τ,当t1+τ,t2+τ,…,tn+τ∈T时(X(t1),…,X(tn))与(X(t1+τ),…,X(tn+τ))电子科技大学有相同的联合分布函数,称{X(t),t∈T}是严(强、狭义)平稳过程.有限维分布不随时间的推移而改变.注1严平稳过程描述的物理系统的概率特征不随时间的推移而改变.例如工作在稳定状态下的接受机,其输出噪声可认为是严平稳的随机过程;刚接上电源时的输出噪声应认为是非平稳过程.电子科技大学注2严平稳过程的一维分布与时间无关,而二维分布仅与t1和t2的间隔有关,与时间起点无关.二、宽平稳过程1）工程中确定一个过程的有限维分布函数族,进而判定过程的严平稳性十分困难；2）部分随机过程(如正态过程)的概率特征主要由一阶和二阶矩函数确定；电子科技大学3）工程实际中,通常仅需在相关理论范畴内考虑平稳过程,即只限于研究一、二阶矩（均值、相关函数等）理论.例如平稳过程{X(t),t∈T}表示噪声电压(或电流)，则由它的一、二阶矩函数可以求出噪声的直流平均功率，总平均功率、功率谱密度等重要参数.从随机过程的一、二阶矩出发定义在理论和应用中更重要的平稳过程概念.电子科技大学定义5.4.2设X=｛X(t),t∈T｝是二阶矩过程,若1）对任意t∈T,;))(()(XXmtXEtm常数2)对任意s,t∈T,RX(s,t)=RX(t－s)=RX(τ).称{X(t),t∈T}为宽(弱、广义)平稳过程,简称平稳过程.称RX(τ)为{X(t),t∈T}的自相关函数.其协方差函数为22)(),(),(XXXXXmRmtsRtsC电子科技大学注自协方差函数与自相关函数都仅依赖于t－s.平稳过程在实际中是常见过程,如照明电网中电压的波动过程;电子系统中的随机噪声;稳定气象条件下海域中一定点处的海浪高度随时间的变化或随地点的变化(平稳随机场)；卫星图片中相同条件下的灰度水平.电子科技大学Ex.1(随机相位周期过程)S(t)是周期为T的连续函数,Φ～U(0,T),讨论.)()(的平稳性tStX解1）过程不是严平稳过程.)]([)]([)()2tSEtXEtmXdftS)()(TdtST0)(1电子科技大学TttduuST)(1TduuST0)(1与t无关的常数])()([),(tXtXEttRX])()([tStSEdftStS)()()(TdtStST0)()(1TttduuSuST)()(1电子科技大学TduuSuST0)()(1仅与τ有关,与t无关.随机相位周期过程是(弱)平稳过程..Ex.2(随机二元传输过程)重复抛一枚均匀硬币,令1）半随机二元传输.1;,1)(否则，次出现正面第ntX),0(,)1(NnTnTtTn其中电子科技大学脉宽是T的整倍数,1)}({2tXE,021)1(211)]([tXE.,0,)1(,1)]()([),(其他nTtsTntXsXEtsRs与t分属不同的T区间,X(s)和X(t)相互独立.0T2T－T－11tst半随机二元传输不是(弱)平稳过程.电子科技大学又设ξ～U(0,T),ξ与X(t)相互独立,令2）随机二元传输Y(t)=X(t－ξ),t∈R.即将X(t)的t平移一个随机变量ξ.0T2T－T－11tT+ξξY(t)的样本函数相应于X(t)的样本函数平移一个随机距离电子科技大学;0)}({)}({)1(tXEtYE.,1;,0)}()({)2(TtsTtsTtstYsYE若若,0])([tXE仅需证[()]{[()]},EXtEEXt因为证(1)X(t－θ)与ξ相互独立,),,0(T对,0)]([])([])([sXEsXEtXE电子科技大学,0])([tXE.0)]([)]([tXEtYE即(2)对过程X(t)有结论：A.当s与t分属不同T区间,X(s)与X(t)相互独立,0)}({)}({)}()({tXEsXEtXsXEB.若s与t同属一个T区间，则.1)()(tXsXE,.TtsA假设,1}0{TP因电子科技大学]})()([{)}()({tYsYEEtYsYE]})()([{tXsXEE),,0(T对Ttsts)()([()()]0EXsXt.0])()([)()(tYsYEEtYsYEtsTnTtTtsB,.且当t=nT(n－1)Tsξ电子科技大学由于s,t同属一个T区间,故})()({})()({tXsXEtYsYE.,0;,1其他tsT]})()([{)}()({tYsYEEtYsYE,1}{1TtstsTP对于t的其它情形可做类似推理.电子科技大学随机二元传输过程是一个平稳过程,记τ=s－t,其自相关函数为.,1;,0)(TTTRX若若0T－T1最大值为RX(0)=1,是偶函数.电子科技大学Ex.3(随机电报信号)电报信号X(t)在传输过程中有不同的电流符号C和－C,设X(t)在[0,t]内的变号次数N(t)是强度为λ的泊松过程，有,0,)1()()(0tXtXtN其中X0与N(t)相互独立，且2121CCX0～C0,参见《概率、随机变量与随机过程》美A.帕普力斯，p303电子科技大学讨论｛X(t),t≥0｝的平稳性.C－C解因0,0])1[()()]([)()(0tEXEtXEtmtNX,0,)1()()(0tXtXtN电子科技大学)]()([),(tXtXEttRX)0,(tR的分布律为)()(tXtXX(t)X(t+τ)－C2C2pp1p2})()({21CtXtXPp})({为奇数NP012)!12()(kkek电子科技大学})()([22CtXtXPp})({为偶数NP02)!2()(kkek)]()([),(tXtXEttRX2212pCpC][122ppC022)!2()([kkkeC])!12()(012kkk电子科技大学])!12()()1(01212kkkk02!)()1(kkkkeC22eC.}0),({),(是平稳过程无关，与ttXtttRX022)!2()([kkkeCRX(τ)电子科技大学Ex.4{W(t),t≥0}是参数为σ2的维纳过程,有1)维纳过程非宽平稳过程;2)维纳过程是增量宽平稳过程，即X(t)=W(t+a)－W(t),t≥0,(a0)是宽平稳过程.证1)因E[W(t)]=0,RW(s,t)=σ2min(s,t),s,t≥0故{W(t),t≥0}非宽平稳过程.与起点有关.电子科技大学2）因维纳过程是严平稳独立增量的正态过程，且（p45）X(t)=W(t+a)－W(t)～N(0,aσ2),0)]()([)]([)(tWatWEtXEtmX)]()([),(tXtXEttRX),(),(),(),(ttRattRtatRatatR)],min(),min(),min(),[min(2ttatttatatat电子科技大学)],0min([)],0min([)],min([)],0min({[2tatatat)],0min(),min(),0min(2[2aaaaaa,0;),(2RX(t,t+τ)与t无关,故X(t)是宽平稳过程.P128例12泊松过程不是平稳过程，是平稳增量过程.电子科技大学三、两种平稳性的关系1）严平稳过程不一定是宽平稳的;因宽平稳过程一定是二阶矩过程,而严平稳过程未必是二阶矩过程.2）宽平稳不一定严平稳;3)严平稳过程是宽平稳过程的充要条件是其二阶矩存在.4)对于正态过程,宽平稳性与严平稳性等价.电子科技大学Ex.6设{X(n),n=0,1,2,…}是独立随机变量序列,每个随机变量的概率密度均为),(,)1(1)(2xxxf由于E(X(n))不存在,所以{X(n),n=0,1,2,…}不是二阶矩过程，从而不是宽平稳过程.另一方面,对任意自然数k,m,任意非负整数有,021knnn电子科技大学1{()}kiiiPXnmx是任意实数，其中kxxx,,,21所以{X(n),n=0,1,2,…}是严平稳过程.111{(),,()}{()}kkkiiiPXnxXnxPXnx思考题：1)严平稳性与宽平稳性的实际意义？电子科技大学2)独立增量过程是否为平稳过程？